SISTEMAS NUMERICOS
Páginas: 11 (2545 palabras)
Publicado: 18 de agosto de 2015
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten represen-
tar datos numéricos. La norma principal en un sistema de numeración posicional es que un mismo símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupe.
Sistema de numeración decimal:
El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compo-ne de diez símboloso dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor depen-diendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coinci-de con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la po-sición que ocupa el dígito menos uno, contando desde laderecha.
En este sistema el número 528, por ejemplo, significa:
5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir: 500 + 20 + 8 o, lo que es lo mismo,
5⋅102 2⋅101 8⋅100=528
En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, al-gunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos coloca-dos a la derecha del separador decimal. Porejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:
8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos 8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97
8⋅103 2⋅102 4⋅101 5⋅100 9⋅10−1 7⋅10−2=8245,97
Sistema de numeración binario.
El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), que tienen distinto valor dependiendo de la posición queocupen. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la poten-cia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.
De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:
1⋅23 0⋅221⋅21 1⋅20=8 0 2 1=11
y lo escribimos así:
10112=1110
Conversión entre números decimales y binarios
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar di-visiones sucesivas por 2 y colocar los restos obtenidos, en cada una de ellas. Para formar el número binario tomaremos los restos en orden inverso al que han sido obtenidos. Por ejemplo:
77 : 2= 38Resto: 1
38 : 2 = 19Resto: 0
19
: 2 = 9
Resto: 1
9
: 2 = 4
Resto: 1
7710 = 1 0 0 1 1 0 12
4
: 2 = 2
Resto: 0
2
: 2 = 1
Resto: 0
1
: 2 = 0
Resto: 1
La cantidad de dígitos necesarios, para representar un número en el sistema binario, dependerá del valor de dicho número en el sistema decimal. En el caso anterior, para re-presentar el número 77 han hecho falta siete dígitos. Pararepresentar números superiores harán falta más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesi-
tarán más de ocho dígitos, porque 28=256 y, por tanto, 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.
Es importante distinguir entre los números que pueden representarse con n dígitos bi-narios, que es 2n, y el mayor de esos números, que es una unidad menos, esdecir, 2n – 1.
El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más senci-llo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta que el valor de cada dígito está asociado a una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda, tal y como se muestra en el siguienteejemplo:
1010011=1⋅26 0⋅25 1⋅24 0⋅23 0⋅22 1⋅21 1⋅20=83
10100112 = 8310
SISTEMAS DE NUMERACIÓN OCTAL Y HEXADECIMAL
El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos núme-ros resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resul-ten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal....
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten represen-
tar datos numéricos. La norma principal en un sistema de numeración posicional es que un mismo símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupe.
Sistema de numeración decimal:
El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compo-ne de diez símboloso dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor depen-diendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coinci-de con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la po-sición que ocupa el dígito menos uno, contando desde laderecha.
En este sistema el número 528, por ejemplo, significa:
5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir: 500 + 20 + 8 o, lo que es lo mismo,
5⋅102 2⋅101 8⋅100=528
En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, al-gunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos coloca-dos a la derecha del separador decimal. Porejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:
8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos 8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97
8⋅103 2⋅102 4⋅101 5⋅100 9⋅10−1 7⋅10−2=8245,97
Sistema de numeración binario.
El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), que tienen distinto valor dependiendo de la posición queocupen. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la poten-cia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.
De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:
1⋅23 0⋅221⋅21 1⋅20=8 0 2 1=11
y lo escribimos así:
10112=1110
Conversión entre números decimales y binarios
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar di-visiones sucesivas por 2 y colocar los restos obtenidos, en cada una de ellas. Para formar el número binario tomaremos los restos en orden inverso al que han sido obtenidos. Por ejemplo:
77 : 2= 38Resto: 1
38 : 2 = 19Resto: 0
19
: 2 = 9
Resto: 1
9
: 2 = 4
Resto: 1
7710 = 1 0 0 1 1 0 12
4
: 2 = 2
Resto: 0
2
: 2 = 1
Resto: 0
1
: 2 = 0
Resto: 1
La cantidad de dígitos necesarios, para representar un número en el sistema binario, dependerá del valor de dicho número en el sistema decimal. En el caso anterior, para re-presentar el número 77 han hecho falta siete dígitos. Pararepresentar números superiores harán falta más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesi-
tarán más de ocho dígitos, porque 28=256 y, por tanto, 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.
Es importante distinguir entre los números que pueden representarse con n dígitos bi-narios, que es 2n, y el mayor de esos números, que es una unidad menos, esdecir, 2n – 1.
El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más senci-llo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta que el valor de cada dígito está asociado a una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda, tal y como se muestra en el siguienteejemplo:
1010011=1⋅26 0⋅25 1⋅24 0⋅23 0⋅22 1⋅21 1⋅20=83
10100112 = 8310
SISTEMAS DE NUMERACIÓN OCTAL Y HEXADECIMAL
El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos núme-ros resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resul-ten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal....
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