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Plano complejo



En matemáticas, el plano complejo es una forma de visualizar y ordenar el conjunto de los números complejos. Puede entenderse como un plano cartesiano modificado, en el que la parte real está representada en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas. El eje de abscisas también recibe el nombre de eje real y el eje de ordenadas elnombre de eje imaginario. Asimismo, cualquier campo de números complejos se puede representar en su forma polar, formando así un plano polar, en el que el valor absoluto, módulo o magnitud representa la longitud de un vector y su argumento es equivalente al ángulo del mencionado vector.









Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
El eje X se llama eje real.El eje Y se llama eje imaginario.
El número complejo a + bi se representa:
 1  Por el punto (a, b), que se llama su afijo.

 2  Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.
Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, Y.










1-Graficando números complejos en el planocartesiano

Explorando la variedad de alternativas que tengo en mis referencias hallé que podemos modelar un número complejo (un número en la forma a + bi, donde a es un número real y bi un número imaginario; la i siendo equivalente a la raíz cuadrada de -1, con la b sirviendo de "coeficiente") usando el plano cartesiano.

Localizar un número complejo sigue las mismas reglas que localizar un puntoespecífico en el plano cartesiano: comienzas en el origen (0, 0), te mueves a la izquierda (negativo) o derecha (positivo) para localizar x; y luego arriba o abajo para y. La única diferencia es que expresamos el punto como un complejo.

Ejemplos:
3 + 8i se encuentra en (3, 8)
-11 + 0i sería el punto (-11, 0)
-6 - 4i está localizado en (-6, -4)
7 - 7i es equivalente a (7, -7)

De aquípodemos enseñar geométricamente el valor absoluto de un complejo:

¿Les parece familiar? Es la fórmula para hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo mediante el Teorema de Pitágoras y la fórmula para hallar la distancia de dos puntos cuando uno de éstos es el origen:






2-Otras formas de representar un número complejo:
1. Forma binómica.
Podemos considerar C como un espaciovectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.
Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.
Usando este tipo de representación,la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores  y  su suma es 
 

 
Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de  es .
El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de  es .
El opuesto de un númerocomplejo es su simétrico respecto del origen.
 

Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un número en la forma .
En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.
 
2. Forma polar o módulo-argumento
Otra forma de expresar unnúmero complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde  es un argumento de , esto es,  es un ángulo tal que
, .
 

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores  que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por...