Sobre Los Principios Fundamentales De La Geometría

Sobre los principios fundamentales de la Geometría 
Comentarios sobre los Elementos
Dr. D. Luis Javier Hernández Paricio
Catedrático de Geometría y Topología
Departamento de Matemáticas y Computación
luis-javier.hernandez@dmc.unirioja.es

Se llamaban elementos las proposiciones que desempeñaban un cometido capital en la organización deductiva de otros resultados. De este modo,losElementos, con mayúscula, venían a ser un tratado donde se exponían con más o menos acierto los "elementos" de algún campo científico. También se distinguía entre una significación más amplia en la que todo lo que sirve para establecer un resultado es uno de sus elementos y, otra significación más restringida, en la que se denomina "elementos" a un grupo selecto de asunciones y proposiciones: Las quetienen el estatuto de principios dentro de una disciplina y son la base de partida sobre la que se teje la trama deductiva de las demás proposiciones y el cuerpo de sus conocimientos.
En una descripción somera de los Elementos se puede empezar diciendo que este tratado se compone de trece libros que contienen 465 proposiciones que, contrariamente a la impresión popular, además de geometría tratan dearitmética y álgebra geométrica griega. Más concretamente tenemos que:
Los cuatro primeros Libros desarrollan la teoría elemental de la geometría plana.
Los Libros V y VI contienen la teoría generalizada de la proporción.
La Teoría de la Aritmética corresponde a los Libros VII, VIII y IX.
El Libro X, denominado por algunos como "La cruz de los matemáticos", se dedica al estudio de segmentosrectilíneos que son inconmensurables respecto a un segmento rectilíneo dado; esto es, al estudio de los irracionales.
Los últimos Libros (XI, XII y XIII) se dedican a la Geometría del espacio.
El Libro I de los Elementos empieza con 23 definiciones que introducen términos tales como punto, línea, línea recta, superficie, superficie plana, ángulo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo agudo, círculo ycircunferencia, centro, diámetro, semicírculo, triláteros, cuadriláteros y multiláteros.
Entre los triláteros, introduce el triángulo equilátero, el isósceles y el escaleno. De entre las figuras cuadriláteras, define cuadrado como la que es equilátera y rectangular, rectángulo la que es rectangular pero no equilátera, rombo la que es equilátera pero no rectangular, romboide la que tiene lados yángulos opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular; y llama trapecios a las demás figuras cuadriláteras.
La definición 23 dice que "Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a la otra en ninguno de ellos."
Tras las definiciones y pese a su simpleza gramatical viene uno de los textoscientíficos más notables que jamás se haya escrito, se trata de los Postulados y Nociones Comunes, que expondremos a continuación siguiendo una traducción literal de la versión de Heiberg y Menge. 

POSTULADOS
1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
3. Y el describir un círculo concualquier centro y distancia.
4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace que los ángulos internos del mismo lado (sean) menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.

NOCIONES COMUNES
1. Las cosas iguales a una misma cosa sontambién iguales entre sí.
2. Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.
3. Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
4. Y las cosas que pueden superponerse entre sí son iguales entre sí.
5. Y el todo es mayor que la parte.
El método utilizado por Euclides se basa en la utilización de cadenas deductivas que obtienen nuevos elementos a...