Sol. tema 1

Departamento de Fundamentos del Análisis Económico.
Universidad de Alicante.
Curso 2013/14
ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA
Soluciones a los problemas del Tema 1
Nota: En todos los ejercicios, se supone que las muestras utilizadas constituyen una
muestra aleatoria simple.
1. Una variable aleatoria (v.a.) discreta X tiene dos posibles valores 1; 2; su función
1
de probabilidades fX (1) = 4 , fX (2) = 3 .
4
(a) Calcula E(X) y V ar(X):
(b) Una investigadora desconoce la función de probabilidad de X; pero dispone de
una muestra de tamaño 3 de X para estimar características de esta variable.
i.

Determina todos los posibles valores de la muestra, y calcula la probabilidad de cada uno de ellos.
ii. Determina todos los posibles valores de la media muestral X, asícomo su
función de probabilidad; a partir de ésta calcula E(X) y V ar(X).
Solución:
(a) En este caso
= E(X) = 1

1
+2
4

3
= 1:75
4

Por otra parte:
3
1
+ 22
= 3:25 )
4
4
= V ar(X) = E(X 2 ) E(X)2 = 3:25

E(X 2 ) = 12
2

1:752 = 0:1875

(b) En total hay 23 = 8 posibles muestras de tamaño 3.
i. Por la independencia, es inmediato obtener la probabilidad de cada una de
lasposibles muestras. La tabla siguiente muestra los 8 posibles resultados
con sus correspondientes probabilidades.
(X1 ; X2 ; X3 ) Probabilidad
(1; 1; 1)
1=43
(1; 1; 2)
3=43
(1; 2; 1)
3=43
(1; 2; 2)
32 =43
(2; 1; 1)
3=43
(2; 1; 2)
32 =43
(2; 2; 1)
32 =43
(2; 2; 2)
33 =43
1

ii. La media muestral en este caso es X = (X1 +X2 +X3 )=3: Para analizar los
posibles valores de X y susprobabilidades correspondientes, completamos
la tabla anterior incluyendo el valor de la media muestral en cada uno de
los 8 casos posibles:
(X1 ; X2 ; X3 ) Probabilidad
(1; 1; 1)
1=43
(1; 1; 2)
3=43
(1; 2; 1)
3=43
(1; 2; 2)
32 =43
3=43
(2; 1; 1)
32 =43
(2; 1; 2)
32 =43
(2; 2; 1)
33 =43
(2; 2; 2)

X
1
4=3
4=3
5=3
4=3
5=3
5=3
2

La función de probabilidad se deducefácilmente de esta tabla:
fX (1)
fX (4=3)
fX (5=3)
fX (2)

=
=
=
=

1=43 = 1=64
3=43 + 3=43 + 3=43 = 9=64
32 =43 + 32 =43 + 32 =43 = 27=64
33 =43 = 27=64

A partir de la función de probabilidad pueden derivarse la media y varianza
de la v.a. media muestral:
1
4
9
5 27
27
+
+
+2
= 1:75
E(X) = 1
64 3 64 3 64
64
Por otra parte:
1
4
9
5
27
27
+ ( )2
+ ( )2
+ 22
=3:125 )
64
3
64
3
64
64
2
V ar(X) = E(X ) E(X)2 = 3:125 1:752 = 0:0625
2

E(X ) = 12

Obsérvese que estos dos últimos resultados podríamos haberlos deducido
sin necesidad de obtener la función de probabilidad de X; ya que sabemos
que la media muestral X construida con una m.a.s. de una v.a. X satisface
que E(X) = E(X); y este último valor ya comprobamos en el apartado (a)
que es1:75; por otra parte, también sabemos que V ar(X) = V ar(X)=n;
y en este caso ya comprobamos en el apartado (a) que V ar(X) = 0:1875;
luego V ar(X) = 0:1875=3 = 0:0625:
2. La duración (en años) de un componente electrónico fabricado por una empresa es
una v.a. continua X con función de densidad:
(
3 2
x
si 0 x 2
8
f (x) =
0
en caso contrario
2

(a) Calcula la media de la v.a X:
(b)Una investigadora no conoce la función de densidad de X, y desea estimar su
media; para ello, dispone de una muestra con la duración de 5 componentes
fabricados por la empresa, y calcula la media muestral X:
i. ¿Cuál es la esperanza de la v.a. X?; ¿cuál es su varianza?
ii. Explica cómo cambiarían los resultados del subapartado (i) si la investigadora hubiera decidido obtener una muestra conla duración de 100
componentes.
iii. La muestra que ha obtenido la investigadora es la siguiente: 1:55; 1:30;
1:80; 0:95; 1:70: Indica cuál es la media muestral que obtendrá la investigadora, y explica qué relación hay entre este valor y el calculado en el
apartado (a).
Solución:
(a) La media

es:

= E(X) =

Z

1

xf (x)dx =

1

Z

0

2

3x4
3x3
dx =
8
32

x=2...