Solido De Revolucio N

Solido de revolución


Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o nocruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido derevolución cuyo volumen tratamos de determinar.
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta algirar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Formulas

Rotación paralela al eje de abscisas (Eje x)
El volumen deun sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresióny=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólidode revolución viene generado por la fórmula:
método de discos.
Ambas expresiones se deducen de que al hacer girar un área formada por innumerables rectángulos de base dx y altura f(x), alrededor deleje X, se forman discos colocados verticalmente cuyos volúmenes sumados resultan en el volumen de todo el sólido. Cada disco tiene por volumen el de un cilindro como si fuera una moneda acomodadaverticalmente, es decir, V=Πr²h donde el radio de la base del cilindro es f(x), y la altura del cilindro es dx, por lo que el volumen del cilindro resulta ser V=Πf²(x)dx y la suma de todos estos volúmenesparciales, es el volumen total que resulta en la expresión:

Si son dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del volumen mayor menos el volumen menor

Pero si el giro es alrededor...