solsito

2. Leyes de los exponentes

Corresponde a la sesi�n de GA 2.2 A TODA LEY
A la operaci�n matem�tica que representa, en forma abreviada, la multiplicaci�n de factores iguales se le llama potenciaci�n.
La potenciaci�n, como expresi�n algebraica, la conforman los siguientes elementos:
a = base
m = exponente
b = potencia
As� se tiene que:

Con base en esta definici�n es posible entender lasleyes de los exponentes.
Primera ley: Producto de potencias con la misma base.
Ejemplo:
a� � a�
Por la definici�n de potencia se tiene:

donde a aparece 5 veces como factor, por lo tanto:
a� � a� = a�+�
= 
Al generalizar se afirma que:
El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

Segunda ley: Cociente depotencias con la misma base
Ejemplo: 
Por la definici�n de potencia se tiene:

Al cancelar factores iguales queda:

Al generalizar queda:
El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.

Obs�rvese ahora el siguiente ejemplo:

y se sabe que:

Por transitividad:

De lo que se concluye que:
Todo n�mero exponente negativo es igual a suinverso con exponente positivo

Tercera ley: Potencia de una potencia
Ejemplo: 
Por la definici�n de potencia se tiene:

Apoy�ndose en la ley 1;

Generalizando se tiene que:
La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes.

Cuarta ley: Potencia de un producto
Ejemplo: (ab)�
Al aplicar la definici�n depotencia:
(ab)� = ab � ab � ab
Aplicando la ley conmutativa:
(ab)� = a � a � a � b � b � b
Y como la potencia es una multiplicaci�n abreviada, queda:
a�b�
Generalizando, se tiene que:
La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores

Quinta ley: Cuando un cociente se eleva a una potencia
Ejemplo: 
Aplicando la definici�n de potencia:

Abreviando lamultiplicaci�n de fracciones:

Al generalizar se tiene que:
Para elevar una fracci�n a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente.

Los siguientes casos se deducen de las leyes anteriores. En la divisi�n de potencias de la misma base y exponente se aplica la segunda ley y resulta que:

Pero el cociente de la divisi�n (cuando el divisor y dividendo son iguales) es 1,entonces:

Por transitividad:
a� = 1
De donde se generaliza que:
Todo n�mero diferente de cero con exponente 0 es igual a 1
Si se tiene la expresi�n:

Aplicando la definici�n de potencia:

Se cancelan los dividendos y divisores iguales y se tiene:

Por transitividad:
a� =a
Generalizando:
Todo n�mero elevado a la primera potencia es igual que ese mismo n�mero
Menci�n especial mereceel caso de la potenciaci�n con exponente fraccionario.
Ejemplo: 
Si se eleva a la potencia que indica el denominador del exponente resulta que:

Por la definici�n:

Aplicando la primera ley de los exponentes, se tiene:

Por la propiedad transitiva:

Si se extrae la ra�z cuadrada a ambos miembros de la igualdad, se tiene:

Al eliminarse la ra�z y la potencia (por ser operacionesinversas), se tiene que:

Generalizando:



1. OPERACIONES ALGEBRAICAS I.Q. IGNACIO ROSALES ORTIZ PROFESOR DE MATEMÁTICAS e-mail: rosorig@gmail.com
2. BREVE INTRODUCCIÓN • Desde nuestros primeros años de estudiantes, nuestros profesores, nos enseñaron a utilizar números y letras; principalmente en GEOMETRÍA. • De manera que, posiblemente de manera inconsciente, pero lo hicimos; empezamos autilizar el ÁLGEBRA.
3. PRINCIPIOS BÁSICOS • El ÁLGEBRA, lo podemos definir en forma sencilla, como la “generalización de la aritmética”; en ésta vamos a utilizar coeficientes y literales, en lugar de números concretos. • Antes de abordar nuestros temas, vamos a comenzar nombrando algunos conceptos básicos en álgebra: – Los MONOMIOS – y los POLINOMIOS.
4. LOS MONOMIOS • El MONOMIO, es la mínima...