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Páginas: 19 (4535 palabras)
Publicado: 11 de octubre de 2015
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
EL MODELO DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
PROVEE UNA SOLUCIÓN
INTELIGENTE PARA ESTE
PROBLEMA
Es un Arte que mejora con la
práctica…
¡ PRACTIQUEMOS!
Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran
cantidad de problemas reales cada más complejos y
especializados, que necesariamente requieren del
uso de metodologías para la formulación matemática
de estos problemas y,conjuntamente, de métodos y
herramientas de resolución, como los que provee la
Investigación de Operaciones.
Ejemplo: El problema de la industria
de juguetes “Galaxia”.
• Galaxia produce dos tipos de juguetes:
* Space Ray
* Zapper
• Los recursos están limitados a:
* 1200 libras de plástico especial.
* 40 horas de producción semanalmente.
•
Requerimientos de Marketing.
* La producción total nopuede exceder de 800 docenas.
* El número de docenas de Space Rays no puede exceder al
número de docenas de Zappers por más de 450.
•
Requerimientos Tecnológicos.
* Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de
producción por docena.
* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción
por docena.
•
Plan común de producción para:
* Fabricar la mayor cantidad delproducto que deje mejores
ganancias, el cual corresponde a Space Ray (S/. 8 de utilidad
por docena).
* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers,
porque estos dejan una menor utilidad (S/. 5 de utilidad por
docena).
Solución
•
Variables de decisión
* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por
semana).
* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por
semana).
•
Funciónobjetivo
* Maximizar la ganancia semanal.
•
Modelo de Programación Lineal
Max (Z) = 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)
Sujeto a:
2X1 + 1X2 1200
3X1 + 4X2 2400
X1 + X2 800
X1 - X2 450
Xj 0, j = 1, 2.
•
(Cantidad de plástico)
(Tiempo de producción)
(Limite producción total)
(Producción en exceso)
(Resultados positivos)
El plan común de producción consiste en:
Space Rays = 550 docenasZappers
Utilidad
= 100 docenas
= S/. 4900 por semana
EJEMPLO N° 1
Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran
cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada
disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada
producto. Se desea hallar la cantidad de cada articulo que debe
fabricarse con el fin de maximizar los beneficios.
El siguiente cuadro resume los coeficientes detransformación o
sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto.
Producto
Componente
A
B
C
D
Beneficios
S/./unidad
P1
P2
1
2
2
1
4
3
1
2
1
3
Disponibilidad
(kilogramos)
15,000
10,000
12,000
10,000
X1 = Nº de unidades de producto P1
X2 = Nº de unidades de producto P2
Entonces el programa lineal correspondiente es:
Max (Z) = 4X1 + 3X2
Sujeto a :
1X1 + 3X2 ≤ 15,000
2X1 + 1X2 ≤10,000
2X1 + 2X2 ≤ 12,000
1X1 + 1X2 ≤ 10,000
X1, X2 ≥ 0
EJEMPLO Nº 2
En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y
negra. Su precio de venta es de S/. 0.5 / litro y S/. 0.3 /
litro, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra
son de 3 y 5 empleados, y de 5,000 y 2,000 soles de
materias primas por cada 10,000 litro.
La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y
10,000 solespara materias primas, y desea maximizar su
beneficio. ¿Cuántos litros debe producir?
FORMULACIÓN
Max (Z) = 5,000X1 + 3,000X2
S. A.
3X1 + 5X2
15
5,000X1 + 2,000X 2 10,000
X1, X2 0
EL MODELO DE P. L.
Optimización
Max( Z) = c1x1 +c2x2 + ...+cnxn
sujeto a
a11x1 +a12x2 + ... +a1nx≤
n
b1
a21x1 +a22x2 + ...+a2nx≤
n
b 2
.
.
am1x1 +am2x2 + ...+amnx≤
n
bm
x≥0
j
∀j
•
Donde el vector c tambiénconocido como el vector costos,
viene dado por:
C = c1 c 2 ... c n-1 c n
•
El vector de lado derecho o b, viene dado por:
b
•
b1
b2
.
.
bm-1
bm
Este es un vector columna, que representa los recursos de
las m actividades. Es por lo tanto el elemento de la mano
derecha de cada una de las m ecuaciones.
•
La matriz A, representa los coeficiente...
EL MODELO DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
PROVEE UNA SOLUCIÓN
INTELIGENTE PARA ESTE
PROBLEMA
Es un Arte que mejora con la
práctica…
¡ PRACTIQUEMOS!
Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran
cantidad de problemas reales cada más complejos y
especializados, que necesariamente requieren del
uso de metodologías para la formulación matemática
de estos problemas y,conjuntamente, de métodos y
herramientas de resolución, como los que provee la
Investigación de Operaciones.
Ejemplo: El problema de la industria
de juguetes “Galaxia”.
• Galaxia produce dos tipos de juguetes:
* Space Ray
* Zapper
• Los recursos están limitados a:
* 1200 libras de plástico especial.
* 40 horas de producción semanalmente.
•
Requerimientos de Marketing.
* La producción total nopuede exceder de 800 docenas.
* El número de docenas de Space Rays no puede exceder al
número de docenas de Zappers por más de 450.
•
Requerimientos Tecnológicos.
* Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de
producción por docena.
* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción
por docena.
•
Plan común de producción para:
* Fabricar la mayor cantidad delproducto que deje mejores
ganancias, el cual corresponde a Space Ray (S/. 8 de utilidad
por docena).
* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers,
porque estos dejan una menor utilidad (S/. 5 de utilidad por
docena).
Solución
•
Variables de decisión
* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por
semana).
* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por
semana).
•
Funciónobjetivo
* Maximizar la ganancia semanal.
•
Modelo de Programación Lineal
Max (Z) = 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)
Sujeto a:
2X1 + 1X2 1200
3X1 + 4X2 2400
X1 + X2 800
X1 - X2 450
Xj 0, j = 1, 2.
•
(Cantidad de plástico)
(Tiempo de producción)
(Limite producción total)
(Producción en exceso)
(Resultados positivos)
El plan común de producción consiste en:
Space Rays = 550 docenasZappers
Utilidad
= 100 docenas
= S/. 4900 por semana
EJEMPLO N° 1
Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran
cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada
disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada
producto. Se desea hallar la cantidad de cada articulo que debe
fabricarse con el fin de maximizar los beneficios.
El siguiente cuadro resume los coeficientes detransformación o
sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto.
Producto
Componente
A
B
C
D
Beneficios
S/./unidad
P1
P2
1
2
2
1
4
3
1
2
1
3
Disponibilidad
(kilogramos)
15,000
10,000
12,000
10,000
X1 = Nº de unidades de producto P1
X2 = Nº de unidades de producto P2
Entonces el programa lineal correspondiente es:
Max (Z) = 4X1 + 3X2
Sujeto a :
1X1 + 3X2 ≤ 15,000
2X1 + 1X2 ≤10,000
2X1 + 2X2 ≤ 12,000
1X1 + 1X2 ≤ 10,000
X1, X2 ≥ 0
EJEMPLO Nº 2
En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y
negra. Su precio de venta es de S/. 0.5 / litro y S/. 0.3 /
litro, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra
son de 3 y 5 empleados, y de 5,000 y 2,000 soles de
materias primas por cada 10,000 litro.
La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y
10,000 solespara materias primas, y desea maximizar su
beneficio. ¿Cuántos litros debe producir?
FORMULACIÓN
Max (Z) = 5,000X1 + 3,000X2
S. A.
3X1 + 5X2
15
5,000X1 + 2,000X 2 10,000
X1, X2 0
EL MODELO DE P. L.
Optimización
Max( Z) = c1x1 +c2x2 + ...+cnxn
sujeto a
a11x1 +a12x2 + ... +a1nx≤
n
b1
a21x1 +a22x2 + ...+a2nx≤
n
b 2
.
.
am1x1 +am2x2 + ...+amnx≤
n
bm
x≥0
j
∀j
•
Donde el vector c tambiénconocido como el vector costos,
viene dado por:
C = c1 c 2 ... c n-1 c n
•
El vector de lado derecho o b, viene dado por:
b
•
b1
b2
.
.
bm-1
bm
Este es un vector columna, que representa los recursos de
las m actividades. Es por lo tanto el elemento de la mano
derecha de cada una de las m ecuaciones.
•
La matriz A, representa los coeficiente...
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