Solucionario Matemáticas Sociales T.3 2 Bach

3

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
MEDIANTE DETERMINANTES

Página 73
REFLEXIONA Y RESUELVE
Determinantes de orden 2
■

Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de
coeficientes:
° 2x + 3y = 29
a) ¢
£ 3x – y = 5

° 5x – 3y = 8
b) ¢
£ –10x + 6y = –16

° 4x + y = 17
c) ¢
£ 5x + 2y = 19

° 9x – 6y = 7
d) ¢
£ – 6x + 4y = 11

° 18x + 24y = 6
e) ¢
£15x + 20y = 5

° 3x + 11y = 127
f) ¢
£ 8x – 7y = 48

a)

2x + 3y = 29 °
¢
3x – y = 5 £

|23 –13 | = –11 ? 0

Solución: x = 4, y = 7

b)

5x – 3y = 8 °
¢
–10x + 6y = –16 £

|–105 –36 | = 0

Solución: x =

c)

4x + y = 17 °
¢
5x + 2y = 19 £

|45 12 | = 3 ? 0

Solución: x = 5, y = –3

d)

9x – 6y = 7 °
¢
–6x + 4y = 11 £

|–69 –64 | = 0

Incompatible

e)18x + 24y = 6 °
¢
15x + 20y = 5 £

| 1815 2420 | = 0

Solución: x =

f)

3x + 11y = 127 °
¢
8x – 7y = 48 £

|38 11–7 | = –109 ? 0

Solución: x = 13, y = 8

Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes

8
3
+ l, y = l
5
5

1
4
– l, y = l
3
3

1

Resolución de sistemas 2 Ò 2 mediante determinantes
■

Resuelve, aplicando la regla anterior, lossistemas de ecuaciones a), c) y f) del
apartado anterior.
a)

|

|

2x + 3y = 29 °
¢
3x – y = 5 £

| A| = 2
3

3
= –11
–1

|

|

| Ax | = 29 3 = –44
5 –1

|

| Ay | = 2
3

|

29
= –77
5
| Ax |

Por tanto: x =

c)

| A|

|

17
= –9
19

|

| Ax |
| A|

3x + 11y = 127 °
¢
8x – 7y = 48 £

|

| Ax | = 127
48

1
=3
2

|

1
= 15
2

Portanto: x =

f)

|

| A| = 4
5

|

| Ay | = 4
5

| Ay | –77
–44
= 4; y =
=
=7
–11
–11
| A|

|

4x + y = 17 °
¢
5x + 2y = 19 £
| Ax | = 17
19

=

=

| Ay |
15
–9
= 5; y =
=
= –3
3
3
| A|

|

| A| = 3
8

|

11
= –109
–7

|

11
= –1 417
–7

|

|

| Ay | = 3 127 = –872
8 48
Por tanto: x =

2

| Ax |
| A|

=

| Ay |
–1 417
–872= 13; y =
=
=8
–109
–109
| A|

Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes

UNIDAD

3

Página 75
1. Calcula el valor de estos determinantes:
a)

| 34 17|

b)

| 13 1133 |

c)

|3730 1410 |

d)

| 70 –20 |

a) 3 · 7 – 4 · 1 = 17
b) 0, porque la 2.a fila es proporcional a la 1.a.
c) 0, porque la 2.a fila solo tiene ceros.
d) 7 · (–2) = –14
2.Calcula:
a)

| ac db |

|

2
2
b) a3 b3
a b

|

c)

| a0 b0 |

d)

|aca bcb |

a) a · d – b · c
b) a 2 · b 3 – a 3 · b 2 = a 2 · b 2 (b – a)
c) 0, porque la 2.a fila solo tiene ceros.
d) a · b · c – b · a · c = 0, o también obsérvese que la 2.a fila es proporcional a la 1.a.

Página 76
1. Calcula los siguientes determinantes:

|
|

|
|

5 1
a) 0 3
9 6

4
6
8

5a) 0
9

4
6 = –114
8

1
3
6

|
|

|
|

3
0 =3
1

|
|

|
|

9 0 3
b) –1 1 0
0 2 1
9 0
b) –1 1
0 2

2. Halla el valor de estos determinantes:

|
|

0 4 –1
a) 1 2 1
3 0 1
0
a) 1
3

|
|

4 –1
2 1 = 14
0 1

Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes

10 47 59
b) 0 10 91
0 0 10

10 47 59
b) 0 10 91 = 1 000
0 0 10

3

Página78
3. Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:

|
|

|

|

|
|

3 –1 7
a) 0 0 0 = 0
1 11 4

4 1
7
1 =0
b) 2 9
– 8 –2 –14

|

7 4 1
c) 2 9 7 = 0
27 94 71

|

45 11 10
d) 4 1 1 = 0
5 1 0

a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2).
b) La 3.a fila es proporcional a la 1.a:
(3.a = (–2) · 1.a) (propiedad 6)
c) La 3.a fila es combinación lineal de las dosprimeras:
(3.a = 1.a + 10 · 2.a) (propiedad 9)
d) La 1.a fila es combinación lineal de las otras dos:
(1.a = 10 · 2.a + 3.a) (propiedad 9)

4. Teniendo en cuenta el resultado del determinante que se da, calcula el resto
sin desarrollar:

|
|
|
|
|

x
5
1

3x 3y 3z
a) 5 0 3
1 1 1

y
0
1

|

z
3 =1
1

|
|
| | |
| | |
|| |

5x 5y 5z
b) 1 0 3/5
1 1 1

|

|

x...