Soluciones Estudio Local

I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
PROBLEMAS RESUELTOS
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
ESTUDIO LOCAL

CLASE
5.01) Sea f una función derivable en todos sus puntos y tal que f 0  1 , f ' 0  2 y f '' 0  3 . Sea g
la función definida por g  x   3 f  x   8f  x  . Calcula razonadamente g '' 0 .
2

Calculemos la derivada primera y segunda de la función, teniendo encuenta las propiedades de la
derivadas y la regla de la cadena:
g '  x   6f  x   f '  x   8f '  x 

g ''  x   6 f '  x   f '  x   f  x   f ''  x    8f ''  x 
Sustituyendo los valores que nos da el enunciado para x = 0, obtenemos que:

g '' 0  6 f ' 0  f ' 0  f 0  f '' 0  8f '' 0  6 2  2  1  3  8  3  66

5.02) Dada la función f  x   x  3 e x , determina los extremos relativos de la función y los puntos de
inflexión de su gráfica.
La condición necesaria para que exista un extremo relativo es que f '  x   0 . Por tanto:

1  e x   x  3  e x

2  x
 0  2  x  0  x  2
e
ex
Luego en x = –2 existe un extremo relativo.
Comprobemos si es un máximo o un mínimo:
1  e x  2  x   e x
x 1
f ''  x  

e2 x
ex2  1
1
f ''  2  
 2  e2  0
e 2
e
Por tanto en x = -2 es un máximo
f 'x 

2x





Como f  2   2  3 e2  e2 resulta que en 2, e2



hay un máximo relativo.

Pasemos al calcular el punto de inflexión, para ello es necesario que f ''  x   0 .
Por tanto: f ''  x  

x 1
 0  x  1  0  x  1
ex

1  e x   x  1  e x

x
1
 x  f '''  1  x  0
e2 x
e
e
Luego enx = –1 existe un punto de inflexión.
Como f  1   1  3 e1  2e en  1,2e  hay un punto de inflexión
Como f '''  x  

2
 1 . Indica su dominio y los intervalos de crecimiento y de
x

5.03) Sea la función f  x   2
decrecimiento.

Para que la función exista tienen que ocurrir que:

2  x

x
2
2x

1  0 
0
x
x
2  x

x

Luego es dominio es D  0,2

0
0
0
0

x   0,2
  x

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento tenemos que analizar el valor de la derivada primera. Por
tanto:
2
2
2
f 'x 
 2 
0
x
2
2x 3  x 4
2
1
x
Como f '  x   0 para todo el dominio y f '  x   0 , resulta que la función es decreciente en todo su
dominio.

5.04) Dada la función f  x  

 x  1

2

ex
a) Halla los extremos relativos de la función.
b)Calcula lim f  x  y lim f  x 
x 

x 

a) La condición necesaria para que exista un extremo relativo es que f '  x   0 . Por tanto:
2  x  1 e x   x  1 e x
2

1  x2
 0  1  x 2  0  x  1
e2 x
ex
Luego en x  1 existen extremos relativos.
Comprobemos si son máximos o mínimos:
2 xe x  1  x 2 e x
x 2  2x  1
f ''  x  

2x
e
ex
f 'x 



f ''  1 

 1

2





 2 1  1

 2e  0  mínimo
e 1
12  2  1  1 2
f '' 1 

 0  máximo
e
e1

 4
Por tanto en  1, 0 existe un mínimo relativo y en 1,  existe un máximo relativo
 e
b) lim f  x   lim
x 

 x  1

2

ex

x 

 x  1

  x  1

2

 lim

x 

2

e x

2  x  1

 lim   x  1  e x  
2

x 

2
 lim x  0
x  e
e
ex
(Para calcular este segundo límite se haaplicado dos veces la regla de L´Hôpital)
lim f  x   lim

x 

x 

x

 lim

x 

5.05) Se considera la función definida por f  x  

x
1  x2

a) Estudia su derivabilidad
b) Determina los intervalos de crecimiento
c) Calcula los puntos de inflexión.


si x  0


 f 'x  

si x  0




 x

2

a) Tenemos: f  x   1  x
 x
1  x 2


x2  1

1  x 
2

2

1  x2

1 x 
2

2

si x  0
si x  0

 

 

La función derivada existe para todo valor x  0 , pero f ' 0  1  f ' 0  1 .
Luego no es derivable para x = 0.
2

si x  0  x  1  0  x  1
b) f '  x   0  
2

si x  0  1  x  0  x  1

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son (se puede comprobar dando valores):
 , 1  1,0 0,1 1,  



 2x 3  x 2

 1  x2...