soluciones problemas mates

Problema 1

 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x 
1 − cos 2 x   0
 =  = in det . = lim
=
lim f ( x ) = lim senx +
 0

x →0
x →0
x →0 
senx
senx
1
+
cos
2
x






sen 2 x
2
 =
lim
= 2 = f ( 0)
x →0
2
 senx 1 + cos 2 x 

La función es continua
Problema 2

lim− g( x ) = lim x 3 = 27

x →3

a)

x →0

 3a + 6si 3a + 6 > 0 ⇒ 3a + 6 = 27 ⇒ a = 7
lim+ g( x ) = lim ax + 6 = 
x →0
x →3
− 3a − 6 si 3a + 6 < 0 ⇒ −3a. − 6 = 27 ⇒ a = −11

Como a debe ser negativo, la solución es a=-11
 ax + 6si x ≥ 3
Sea la función g( x ) =  3
 x si x < 3
 11 si x > 3
b) g ' ( x ) =  2
3x si x < 3
Basta ver que la derivada no es continua para comprobar que no es derivable en x=3Problema 3
V = πR 2 h = 300 ⇒ h =

300
πR 2

600
R
600
150
S' (R ) = 4πR − 2 = 0 ⇒ R 3 =
⇒ R = 3.63 m ⇒ h = 7.25 m
π
R
1200
S' ' (R ) = 4π + 3 = 0 ⇒ S' ' (3.63) > 0 ⇒ mínimoR

S(R ) = 2πR 2 + 2πRh = 2πR 2 +

Problema 4
P( x ) = 1 + x +

x2 x3 x4
+
+
+ ...
2! 3! 4!

f ( n +1 (c)
3 1
E=
( x − x 0 ) n +1 ≤
 
(n + 1)!
(n + 1)!  5 

n+1

El error se hace menor que 10-3 para n=3, por tanto:
2

3

1 1
1 1 1
P( x ) ≈ 1 +   +   +   ≈ 1.2213
3!  5 
 5  2!  5 

Problema 5
2

A=∫

2

1
x3
8
1 7
x − 1 / x dx =
− Lnx  = − Ln 2 − = − Ln 2 UA
3
3 3
1 3

(

)

2

Problema 6

a)

∫

∞

0

R

[

e − x dx = lim ∫ e − x dx = lim − e − x
R →∞ 0R →∞

]

R

0

[

]

R

= lim − e −R + 1 0 = 1 UA
R →∞

0 1
1 1
R 1
1 1
1
dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 dx = lim− ∫ 2 dx + lim+ ∫ 2 dx =
2
−1 x
−1 x
0 x
R →0 −1 x
T →0 T x1

∫
b)

R

1

R

1

1
 1
 1
 1 

= lim− −  + lim+ −  = lim− − − 1 + lim+ − 1 +  = ∞
R →0 
x  −1 T →0  x  T R →0  R  −1 T →0 
TT

....