Problemas de mate

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Razones de cambio relacionadas
1. Suponga que un incendio forestal se propaga en la forma de un c´ ırculo cuyo radio cambia a raz´n de o 1.8 m/min. ¿A qu´ raz´n est´ creciendo el ´rea de la regi´n incendiada cuando el radio alcanza 60 e o a a o m? s d 23

2. Sea l la longitud de la diagonal de un rect´ngulo cuyos lados tienen longitudes x & y respectivamente. a 1 Si x aumenta con unarapidez de 2 m/s y si y disminuye con una rapidez de 1 m/s, 4 (a) ¿A qu´ raz´n est´ cambiando la longitud de la diagonal cuando x = 3 m & y = 4 m? e o a (b) ¿La diagonal est´ aumentando o disminuyendo en ese instante? a s d 38

3. Un anuncio publicitario tiene forma de un cilindro circular recto. Determinar la variaci´n de su o volumen en el proceso de inflado, sabiendo que la altura permanececonstante. s d 28

4. Dos autom´viles empiezan a moverse a partir del mismo punto con velocidad constante. Uno viaja o hacia el sur a 60 km/h y el otro hacia al oeste a 25 km/h ¿Con qu´ raz´n aumenta la distancia entre e o los dos autom´viles dos horas m´s tarde? o a s d 21

5. Dos trenes parten de una estaci´n con 3 horas de diferencia. El que parte primero se dirige hacia el o norte con unarapidez de 100 km/h. El otro tren se dirige hacia el este con una rapidez de 60 km/h. ¿A qu´ raz´n est´ cambiando la distancia entre los trenes 2 horas despu´s que parti´ el segundo e o a e o tren? s d 14

6. Un controlador a´reo sit´a 2 aviones a la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un mismo e u punto de encuentro (ver figura). Uno de ellos (avi´n 1) est´ a 150 millas de ese punto y vuelaa 450 o a millas por hora. El otro (avi´n 2) est´ a 200 millas del punto y vuela a 600 millas por hora. o a
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Avi´n 1 o d(t) y(t)

Avi´n 2 o • x(t)

(a) ¿A qu´ velocidad decrece la distancia entre los aviones? e
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canek.azc.uam.mx: 20/ 8/ 2007

(b) ¿De cu´nto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias diferentes? a s d 29

7. Cuando un tanque esf´rico de radio acontiene l´ e ıquido con una profundidad h, el volumen de este l´ ıquido est´ dado por a 1 V = πh2(3a − h). 3 20 Suponga ahora que un tanque esf´rico de 5 m de radio se est´ llenando de agua a raz´n de e a o l/s. 3 Calcule la raz´n de cambio del nivel de agua cuando h = 1.25 m (1 litro=1 dm3 ). o s d 25

8. Un avi´n vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla a una velocidad de 500 millas/h ypasa o sobre una estaci´n de radar. Encuentre la raz´n a la que aumenta la distancia del avi´n a la estaci´n o o o o cuando el avi´n est´ a 2 millas de la estaci´n. o a o s d 22

9. Una placa en forma de tri´ngulo equil´tero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a raz´n a a o constante de 2 cm/h. ¿Con qu´ rapidez crece el ´rea cuando cada lado mide 8 cm? e a s d 32

10. Una placa enforma de tri´ngulo equil´tero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a raz´n a a o constante de 2 cm/h. ¿Cu´l es la raz´n de crecimiento del ´rea en el instante en que el valor de ´sta a o a e √ es 75 cm2? s d 31

11. La ley adiab´tica (sin p´rdida ni ganancia de calor) para la expansi´n de un gas es a e o P V 1.4 = C (donde P es la presi´n, V el volumen y C una constante). En cierto instante,el volumen es de 1 o 3 o e a o ft , la presi´n es de 40 lb/ft2 y ´sta est´ creciendo a raz´n de 8 lb/ft2 en cada segundo. Calcular la raz´n de variaci´n del volumen en dicho instante. o o (Considerar que lb = libra y ft = pie.) s d 12

12. Cuando se expande aire a temperatura constante, su presi´n y su volumen, satisfacen o P V 1.4 = C donde C es una constante. Si en un momento determinado elvolumen es de 400 cm3 y la presi´n es o de 80 KPa, disminuyendo ´sta a raz´n de 10 KPa/min, ¿con qu´ raz´n aumenta el volumen en ese e o e o instante? s d 17

13. Una l´mpara se encuentra suspendida a 15 pies sobre una calle horizontal y recta. Si un hombre de a 6 pies de estatura camina alej´ndose de la l´mpara en l´nea recta con una velocidad de 5 pies/s, ¿con a a ı qu´ rapidez se alarga su...