solución de problemas de máximos y mínimos con los siete pasos

Siguiendo los 7 pasos para la solución de problemas de máximos y mínimos,
resolver el siguiente problema:

De una pieza cuadrada de hojalata de lado a se desea construir una caja, sin tapa,
delmayor volumen posible, cortando de las esquinas cuadrados iguales y doblando
hacia arriba la hojalata para formar las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud
del lado de los cuadrados cortados?1) Definir la función a optimizar, o función objetivo, usando dibujos o
diagramas que faciliten la comprensión del problema.

Figura 1.- Izquierda (pieza de hojalata de lado a donde se indica laspartes x que
serán cortadas) y Derecha (la caja sin tapa formada con la placa).

El volumen de una caja cualquiera se obtiene multiplicando el área de la base por
la altura.

𝑉 = 𝐴∗ℎ
𝐴 = (𝑎 −2𝑥)(𝑎 − 2𝑥)
ℎ= 𝑥
𝑉 = (𝑎 − 2𝑥)2 ∗ 𝑥

ROSA MARTHA MEDINA HERNANDEZ

2) Graficar la función objetivo a fin de ver gráficamente si existen puntos
críticos (pendiente cero) en un rango razonablePara poder realizar la gráfica en Wolfram Mathematica 8.0, se tuvo que
igualas a cero el valor de “a”:

𝑉 = (𝑎 − 2𝑥)2 ∗ 𝑥
𝑉 = 𝑥 ∗ (1 − 2 ∗ 𝑥)2

En el programa se introdujo la función de laforma siguiente:

Plot[{𝑥 ∗ (1 − 2 ∗ 𝑥)2 }, {𝑥, −0.1,0.6}]

Y obteniendo la siguiente gráfica:

0.05

0.1

0.1

0.05

0.10

ROSA MARTHA MEDINA HERNANDEZ

0.2

0.3

0.4

0.5

0.63) Obtener la primera derivada de la función objetivo
𝑉 = 𝑥(𝑎 − 2𝑥)2
𝑉 ′ (𝑥) = 𝑥

𝑑𝑦 ((𝑎 − 2𝑥)2 )
𝑑𝑦 (𝑥)
+ (𝑎 − 2𝑥)2
𝑑𝑥
𝑑𝑥

𝑉 ′ (𝑥) = 𝑥[2(𝑎 − 2𝑥)

𝑑𝑦 (𝑎 − 2𝑥)
] + (𝑎 − 2𝑥)2 [1]
𝑑𝑥𝑉 ′ (𝑥) = 𝑥[2(𝑎 − 2𝑥)(−2)] + (𝑎 − 2𝑥)2 [1]
𝑉 ′ (𝑥) = 𝑥[−4(𝑎 − 2𝑥))] + (𝑎 − 2𝑥)2
𝑉 ′ (𝑥) = −4𝑥(𝑎 − 2𝑥) + (𝑎 − 2𝑥)2
𝑉 ′ (𝑥) = −4𝑥𝑎 + 8𝑥 2 + 𝑎2 − 4𝑥𝑎 + 4𝑥 2
𝑉 ′ (𝑥) = −8𝑥𝑎 + 12𝑥 2 + 𝑎2
𝑉 ′ (𝑥) =12𝑥 2 − 8𝑥𝑎 + 𝑎2

4) Igualar a cero la primera derivada de la función objetivo y resolver la
ecuación a fin de identificar los puntos críticos

𝑉 ′ (𝑥) = 12𝑥 2 − 8𝑥𝑎 + 𝑎2 = 0
12𝑥 2 − 8𝑥𝑎 + 𝑎2 =...