Soma e Produto

a) Resolva a equação com soma e produto

x² - 5x + 6 = 0
S = 5 = 2 + 3
P = 6 = 2 * 3

S ={ 2, 3}

b) Qual equação que possui raízes 3 e -4

S = 3 - 4 = -1
P = 3 * (-4) = -12

x² - Sx + P= 0
x² - (-1)x -12 = 0
x² + x - 12

c) Sabendo que uma das raízes é 2, descubra a outra.

x² - 3x + 2 = 0
P = 2 = x' * x'' = 2 * x'' = 2
x'' = 1

d) Quando que a soma dos inversos dasraízes da equação

x² - 5x + 6 =0

1/x' + 1/x'' = (x' + x'')/(x' * x'') = 5/6
.....................

Lembre-se que S = -b/a e P = c/a
Se é uma função do segundo grau, a função pode ser reescritapela soma e produto das raízes. Vamos lá:

Toda função do segundo grau é do tipo:

f(x) = ax² + bx + c

que pode ser reescrita como:

f(x) = ax² -Sx + P, onde S é a soma das raízes e P é oproduto das raízes. Vale lembrar que a ´raíz da função do segundo grau é dada pelos pontos (x, 0) e (x' , 0). Vale destacar também que:

delta > 0 => a função possui duas raízes reais
delta = 0 => afunção possui apenas uma raíz
delta < 0 => a função não possui raízes reais, mas, complexas.

A soma das raízes é dada por: -b/a
E o produto é dada por: c/a

Vamos ao exemplo:

i) Sabendo que asraízes de uma função do segundo grau são 3 e -2, encontre a função:

RESOLUÇÃO:

Somando as raízes, temos: 3 + (-2) = 3-2 = 1
Calculando o produto, temos: 3.(-2) = -6

Logo, a função procurada é :f(x) = x² - x - 6

ii) Sendo a função f(x) = x² -x -6, calcule: (utilizei o mesmo exemplo)

a) a soma das raízes
b) o produto das raízes

RESOLUÇÃO:

a) soma => -(-1)/1 = 1
b) produto =>-6/1 = -6

Na resolução de uma equação do 2º grau temos três possibilidades de resultados, podemos encontrar duas raízes reais diferentes, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real.

Quandoexistir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).

Para provarmos a soma e o produto de duas raízes reais...