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CÁLCULO III PARA INGENIERÍA
1. Sea
Extendida a
como función de período
.
a) Obtener la serie de Fourier de .
b) Usar (a) para calcular
c) Usar (a) para calcular
1) a) SOLUCIÓN: Vemos que la función
es impar, debido a que cumple
, para
el intervalo
. Como
es impar, entonces los coeficientes de Fourier de la seriese
calcula de la siguiente manera:
Tenemos que:
Usando ésta fórmula tenemos que:
1
J.A.L.P
1.1 Series e Integrales de Fourier – Ejercicios Resueltos
CÁLCULO III PARA INGENIERÍA
Pero
, entonces:
Ahora analizaremos los valores que tomara el coeficiente de Fourier
, y si
Para
es impar, entonces
. Si
es par, entonces
.
, tenemos que el coeficiente:
Portanto la serie de Fourier para la función
es:
b) SOLUCIÓN: Como la función
es seccionalmente continua (continua por tramos), se podrá
usar el teorema de convergencia puntual el cual nuestro punto
, converge la serie de
Fourier a la función
. Por teorema de convergencia puntual, nuestro punto escogido es:
Como en ese punto, la función es continua, entonces la serie de Fourier en esepunto converge a:
2
J.A.L.P
1.1 Series e Integrales de Fourier – Ejercicios Resueltos
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c) SOLUCIÓN: Usando la identidad de Parseval tenemos que:
Pero como
es impar, entonces la identidad sería:
Por tanto la serie converge a:
3
J.A.L.P
1.1 Series e Integrales de Fourier – Ejercicios Resueltos
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2. Para
,periódica de período 4
a) Obtener su serie de Fourier en cosenos
b) Del resultado, determinar la convergencia de
2) a) SOLUCIÓN: Primero tenemos que definir la función por tramos, ya que
parte entera del número , por tanto:
representa la
Como nos pide la serie de Fourier en cosenos, hay que aplicar la extensión par de la función de
periodo
. Y como es par (la extensión), solamente hayque calcular los coeficientes:
Entonces:
4
J.A.L.P
1.1 Series e Integrales de Fourier – Ejercicios Resueltos
CÁLCULO III PARA INGENIERÍA
Si
es par, entonces
y si
es impar, entonces
Por tanto, la serie de Fourier de cosenos para la función dada es:
b) SOLUCIÓN: Como la función es seccionalmente continua (continua por tramos), entonces
existe un
, tal que la serie deFourier de cosenos converge a la función
, en el punto
escogido. Entonces, por teorema de convergencia puntual, escogeremos el punto
(Presenta un punto de continuidad), lo que satisface lo siguiente:
Por tanto, la serie converge a:
5
J.A.L.P
1.1 Series e Integrales de Fourier – Ejercicios Resueltos
CÁLCULO III PARA INGENIERÍA
3. Sea
, si –
, entonces:
a) Determine laSerie de Fourier de esta función
b) Pruebe la convergencia de la serie:
3) a) SOLUCIÓN: Primero analizaremos si la función es par o impar. Vemos que la función es
par, ya que cumple
, por tanto, los coeficientes de Fourier a calcular son:
Entonces:
Primero calcularemos la primitiva
Usando el método de integración por partes. Sean:
Pero por formulario:
Por tanto:
6J.A.L.P
1.1 Series e Integrales de Fourier – Ejercicios Resueltos
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Ahora, el coeficiente:
Ahora calcularemos el coeficiente, pero para
Por tanto, la serie de Fourier para la función dada es:
b) SOLUCIÓN: Como la función es seccionalmente continua, existe un punto
, tal
que la serie de Fourier en ese mismo punto, converge a la función evaluada en ese punto.Entonces nuestro punto a estudiar es
(presenta un punto de continuidad). Por teorema de
convergencia puntual, la serie converge a
, es decir:
7
J.A.L.P
1.1 Series e Integrales de Fourier – Ejercicios Resueltos
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Por tanto, la serie que hemos estudiado converge a:
4. Sea
definida por:
.
a) Encontrar una función par
periódica, tal que...
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