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UNIDAD 3

DETERMINANTES

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Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:  2x + 3y = 29 a)   3x – y = 5  9x – 6y = 7 d)   – 6x + 4y = 11 a) 2x + 3y = 29   3x – y = 5   5x – 3y = 8 b)   –10x + 6y = –16  18x + 24y = 6 e)   15x + 20y = 5  4x + y = 17 c)   5x + 2y = 19  3x+ 11y = 128 f)   8x – 7y = 46

 3 –1  = –11 ≠ 0
2 3

Solución: x = 4, y = 7 b) 5x – 3y = 8   –10x + 6y = –16  4x + y = 17   5x + 2y = 19 

 –10 6  = 0.
5 –3

Solución: x =

8 3 + λ, y = λ 5 5

c)

5 2 = 3 ≠ 0
4 1

Solución: x = 5, y = –3 9x – 6y = 7   –6x + 4y = 11  18x + 24y = 6   15x + 20y = 5  Solución: x =

d)

 –6 4  = 0.
9 –6

Incompatiblee)

 15 20  = 0
18 24

1 4 – λ, y = λ 3 3

f)

3x + 11y = 128   8x – 7y = 46 

8

3 11 1 402 886 = –109 ≠ 0. Solución: x = , y= –7 109 109 1



Unidad 3. Determinantes

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Determinantes de orden 3 Queremos calcular todos los posibles productos (de tres factores) en los que intervengan un elemento de cada fila y uno de cada columna de esta matriz:

( )
6 9 3 2 58 4 7 1

a) Averigua cuántos productos hay y calcula todos ellos. b) Hazlo de nuevo para una matriz 3 × 3 cualquiera.

(

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

)

a) Hay 6 productos: 6 · 5 · 1 = 30 2 · 7 · 3 = 42 9 · 8 · 4 = 288 Determinantes de orden 4 3 · 5 · 4 = 60 7 · 8 · 6 = 336 2 · 9 · 1 = 18

b) a11 a22 a33 a13 a21 a32 a12 a23 a31 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33

En unamatriz 4 × 4, ¿cuántos productos de 4 factores hay en los que intervengan un elemento de cada fila y uno de cada columna?

(

a11 a21 a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

)

Hay 4! = 24 productos. ¿Sabrías decir, en general, en una matriz cuadrada n × n, cuántos productos de n factores, uno de cada fila y uno de cada columna, pueden darse? Hay n! productos.Página 80
1. Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunos de ellos: a)

 4 2
13 6 13 6

b)

 4 –2 
13 6

c)

 11 0 
1 0

d)

7

7 –2 –2



e)

 21 77 
3 11

f)



–140 7 60 –3



a)

 4 2 = 2

b)

 4 –2  = –50
13 6 2

Unidad 3. Determinantes

c) d) e) f)

 11 0  = 0,
1 0

porque tiene una columnade ceros.

7 

7 –2 = 0, porque tiene sus dos filas iguales. –2 3 11 porque sus filas son proporcionales: (1-) · 7 = (2-) ª ª



 21 77  = 0, 

–140 7 = 0, porque sus dos columnas son proporcionales: (2-) · (–20) = (1-) ª ª 60 –3

2. Calcula el valor de los siguientes determinantes teniendo en cuenta estos datos: A=

( )
l m n p

A  = –13

a)

l m
n p

b) 6A  lm

c)

n

l 4m 4p



d) A –1

a)

l

n p m

 = –  n p  = –(–13) = 13  6n
l m 6l 6m =6·6 n p 6p

b) 6A = c)





 = 36 · (–13) = –468
1 1 1 = =– |A| –13 13

n

l m l 4m =4 n p 4p

 

 = 4 · (–13) = –52

d) A · A –1 = A · A –1 = 1 → A –1 =

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1. Calcula los siguientes determinantes: 5 1 4 a) 0 3 6 9 6 8

5 1 4 a) 0 3 6 =–114 9 6 8

   

 

9 0 b) –1 1 0 2 9 0 b) –1 1 0 2

 

3 0 1

3 0 =3 1

 

2. Halla el valor de estos determinantes: 0 4 –1 a) 1 2 1 3 0 1

0 4 –1 a) 1 2 1 = 14 3 0 1
Unidad 3. Determinantes

 

b)

10 47 59 b) 0 10 91 = 1 000 0 0 10 3

 

10 47 59 0 10 91 0 0 10

 

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3. Justifica, sin desarrollar, estas igualdades: 3 –1 7 a) 0 0 0 = 0 1 114 7 4 1 c) 2 9 7 = 0 27 94 71

 



b)



45 11 10 d) 4 1 1 = 0 5 1 0

 

4 1 7 2 9 1 =0 – 8 –2 –14





a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2). b) La 3- fila es proporcional a la 1- (3- = (–2) · 1-) (propiedad 6). ª ª ª ª c) La 3- fila es combinación lineal de las dos primeras (3- = 1- + 10 · 2-) (propiedad 9). ª ª ª ª d) La 1- fila es combinación lineal de las...