Strain

Cálculo del tensor de deformaciones en puntos cuánticos enterrados en matrices
semiconductoras.
Fernando Rajadell, Josep Planelles y Juan Ignacio Climente
Departament de Ciències Experimentals, Universitat Jaume I,
Apartado 224, E-12080 Castelló de la Plana, Spain
email: josep.planelles@exp.uji.es
Abstract
The present paper is a pedagogical approach to the calculation of strain in
quantum dots ofarbitrary shape buried in a matrix. We assume the
isotropic strain model, which has good performance and is not computationally
heavy. The paper is self-contained: we start from the definitions of strain and
stress and obtain the Navier equation. Then, the elasticity formalism is
applied to the problem of spherical inclusion. Finally, using the superposition
principle, we obtain the strain in aninclusion of arbitrary shape as a sum
of effects coming from the inclusion of many small spheres. The resulting
strain formula is a surface integral which can be numerically solved and
compared to results published in recent scientific literature.
PACS: 73.21.La; 81.40.Jj

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Introducción
Desde hace años hay un considerable interés en la síntesis, caracterización y estudio de
puntos cuánticos,QDs, autoordenados. Éste viene sin duda estimulado por la posible
utilización de estos QDs en nuevos nanodispositivos optoelectrónicos (tales como
láseres de puntos cuánticos), fotodetectores, o su uso como puertas cuánticas en el
procesado cuántico de la información, entre otras muchas aplicaciones [1,2,3].
Uno de los métodos más empleados para el crecimiento de QDs en matrices
semiconductoras esel llamado método de Stranski-Krastanow [4] el cual permite un
control de la densidad, tamaño, composición y forma de los puntos cuánticos,
consiguiendo un producto con una alta homogeneidad. Las fuerzas de tensión son en
parte responsables de ello. Una vez depositada una primera serie de puntos cuánticos
sobre la matriz, y después de quedar éstos cubiertos de nuevo por material de la matriz,
cadapunto cuántico origina un campo de tensiones que promueve el ordenamiento
vertical de los nuevos puntos cuánticos que se van depositando y cubriendo
sucesivamente. De este modo se consiguen pilas ordenadas de QDs.
Las tensiones que quedan presentes provocan, a su vez, cambios en la estructura de las
bandas del material obtenido. Básicamente, el borde de la banda de conducción seestabiliza/desestabiliza proporcionalmente a la deformación hidrostática, mientras que
en la banda de valencia los huecos pesados y ligeros (que son degenerados en el punto Γ
de la zona de Brillouin) rompen su degeneración proporcionalmente al campo de
deformaciones biaxial, a la vez que también son afectados por la presión hidrostática, de
manera similar a como lo es la banda de conducción [5]. Adicionalmente, elcampo de
tensiones genera un potencial piezoeléctrico, aunque éste es generalmente pequeño y,
excepto en algunos casos concretos, contribuye poco a la energía electrónica.
Por todos estos motivos, entre otros, se hace necesario calcular el campo de
tensiones/deformaciones en un QD. Los métodos que se emplean para su cálculo se
pueden clasificar en dos categorías: modelos de elasticidad continua(continuous model
CM) y modelos atomísticos (valence force field VFF). En general VFF y CM conducen
a resultados que están en razonable acuerdo [6,7]. Dentro del modelo continuo, la
descripción más simple se consigue con el modelo continuo isótropo (isotropic
elasticity, IE) propuesto por Davies y Downes[8] el cual rinde resultados acordes con
aquellos que se obtienen de modelos continuosanisótropos y atomísticos [9,10]. El
método IE es conceptualmente simple, computacionalmente asequible y, desde el punto
de vista de sus resultados, robusto.
En el presente artículo derivaremos el método IE a partir de la ecuación básica de la
elasticidad (ecuación de Navier) con el objeto de proporcionar al no especialista una
aproximación didáctica al tema. Creemos que la programación de la fórmula de...