sucesiones aritmeticas

PROGRESIONES – 3º ESO – PÁGINA 1

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
UN POCO DE HISTORIA: UN NIÑO LLAMADO GAUSS
Hace poco más de dos siglos, un maestro alemán que quería paz y tranquilidad en su clase propuso
a sus alumnos que calcularan la suma de los números del 1 al 100.
A Carl Friedrich Gauss (10 añitos) se le ocurrió lo siguiente, en primer lugar escribió lasuma de los
1000 números en el orden normal:
1+2+3+………………………+98+99+100. Después escribió la suma al revés
100+99+98+………………………+3+2+1
Y después fue sumando el número de arriba con el correspondiente de debajo
1 + 2 + 3 +………………………+ 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 +………………………+ 3 + 2 + 1
______________________________________________
101 + 101 +101+………………….. +101 + 101+ 101
Se dio cuenta que todaslas parejas sumaban 101, por tanto el resultado de la suma que tenemos
planteada será 101x100, como en esta suma hemos calculado el doble de la cantidad que queríamos,
101100
tendremos entonces que la suma de los números del 1 al 100 será:
 5050
2
Carl Friedrich Gauss fue un famoso matemático y astrónomo alemán (1777-1855).

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el vigésimotérmino de la progresión aritmética: -15, -12, -9, -6, ...
a1 = -15 ; d = -12 – (-15) = -12 + 15 = 3; n = 20; an = ?
an = a1 + (n – 1) d
a20 = -15 + (20 – 1) 3
= -15 + 57 = 42
a20 = 42
2. La suma de los cuatro primeros términos de una PA creciente es 56 y el término mayor es
20. Escribe esos cuatro términos.
Como a4 = 20, S4 = 56 y n = 4. se tiene:
a  an
a  20
56  2
Sn  1
 n  56  14 
 a1  20  28  a1  20 , de donde: a1 = 8.
2
2
4
Por otro lado an = a1 + (n – 1) · d, entonces se tiene:
20  8
4
20 = 8 + (4 – 1)d ; d =
2
Solución: los cuatro primeros términos son: 8, 12, 16, 20
3. Conociendo que en una PA el término a100 = 199 y que la suma de los 100 primeros
términos es 10.000, calcular el primero y la diferencia.
a100 = 199; n = 100; S100 = 10.000; a1 = ?;d = ?
IES HERMANOS MEDINA RIVILLA – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

PROGRESIONES – 3º ESO – PÁGINA 2

a  an
a  199
10000  2
Sn  1
 n  10000  1
100 
 a1  199
2
2
100
200 = a1 + 199; a1 = 1

an  a1  (n  1)  d  a100  a1  (100  1)  d
199 = 1 + (100 – 1) · d → 198 = 99d → d = 2.
4. Dada la sucesión -6, 1,8,15,…

5. Calcular la suma de los doce primeros términosde una PA de diferencia 4, sabiendo que el
primero vale 7.
a1 = 7; n = 12; S12 = ?

an  a1  (n  1)  d  a12  a1  (12  1)  d  a12  7  11 4  51
199 = 1 + (100 – 1) · d → 198 = 99d → d = 2.

a  an
a a
7  51
Sn  1
 n  S12  1 12 12 
12  348
2
2
2
S12 =348
6. Calcular la suma de los n primeros términos de una PA, cuyo primer término es 4 y cuya
diferencia es 3,sabiendo que el término n es 40.
Sn = ?; n = ?; a1 = 4; an = 40; d = 3

an  a1  (n  1)  d  an  4  (n  1)  3  40  4  3n  3  40  4  3  3n
De donde n=13

a a
a  an
4  40
Sn  1
 n  S13  1 13 13 
13  286
2
2
2
S13 =286
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PROGRESIONES – 3º ESO – PÁGINA 3

7. Conociendo el primer término de una PA. 3y el doce 25, determinar la diferencia y la suma
de los doce primeros.
Sn = ?; n = 12; a1 = 3; a12 = 25; d = ?

an  a1  (n  1)  d  a12  a1  (12  1)  d  25  3  11d  25  3  11d  22  11d → d = 2.
a  an
a a
4  25
Sn  1
 n  S12  1 12 12 
12  168
2
2
2
S12 =168
8. De una progresión aritmética conocemos los términos a8 = 29 y a11 = 44. Calcula:

9. Hallar elnúmero de términos de una progresión aritmética que tiene por primer término 7,
por último 112 y por diferencia 3.
n = ?; a1 = 7; an = 112; d = 3

an  a1  (n  1)  d  112 = 7 + (n - 1) · 3
112 = 7 + 3n - 3
112 = 4 + 3n
3n = 108; n = 36
n = 36
10. Conociendo el primer término de un PA es 3, cierto término es 39 y que la suma de todos
los términos entre los dos anteriores es 210,...