Sucesiones Numericas

También es llamada progresión geométrica, es una sucesión de números en la cual el cociente (la razón) entre dos elementos consecutivos es una constante, en símbolos: $$\frac{g_i}{g_{i-1}}=r.$$ Es decir, cualquier elemento en la sucesión geométrica es igual al anterior multiplicado por una constante $ r $ (la razón),  en símbolos: $$g_i=r \cdot g_{i-1}.$$ De esta última expresión, se puedeobtener la fórmula para el $n$-ésimo término de la sucesión: $$g_n = r^n \cdot g_0$$ O, equivalentemente, cuando el elemento incial es $g_1$: $$g_n = r^{n-1} \cdot g_1.$$
Ejemplos:
* 1, 3, 9, 27, ... es una sucesión geométrica con razón $r = 3$
* 6, 3, 1.5, 0.75, 0.375, ... es una progresión geométrica con razón $r = 0.5$
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Sucesióngeométrica
Enviado por José el 28 de Enero de 2009 - 13:24.

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Definición de sucesión aritmética
Una sucesión es una sucesión aritmética si hay un número real tal que paratodo entero positivo ,
.
El número se le llama diferencial común de la sucesión.
Dada una sucesión aritmética:
k+1 = a+ d
para todo entero positivo K. Esto nos da una formula recursiva para encontrar terminos sucesivos .A partir de cualquier numero real a1. obtendremos una sucesion aritmetica condiferencia comun d con solo agregar d a a1, luego a a1+d y asi sucesivamente, con lo que resulta
Observa que la diferencia común es la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión aritmética.

El n-ésimo término de una sucesión aritmética


Teorema: fórmulas para
Si es una sucesión aritmética condiferencia común , entonces la n-ésima suma parcial (esto es, la suma de los primeros términos), está dada por
o
Demostración
Podemos escribir

.
Con el uso repetido de las propiedades conmutativa y asociativa de números reales resulta
,
con veces dentro del primer par de paréntesis. Así
.
La expresión dentro de corcheteses la suma de los primeros enteros positivos. Con la fórmula para la suma de los primeros enteros positivos, , entonces tenemos


Sustituimos en la última ecuación por y factorizamos con lo cual


Puesto que , la última ecuación es equivalente a.
Historia de Gauss
LA maestra de Johann Carl Friedrich Gauss llego a dar la clase y les puso a todos sus alumnos un ejercicio en la pizarra que creía que les iba a llevar tiempo y podría descansar. El ejercicio era sumar los primeros 100 número enteros (del 1 al 100), pocos tiempo paso cuando Gauss dijo que habia terminado, la maestra pensó,"Deplano que no quiere trabajar"; su sorpresa fue que el ya habia resuelto el ejercicio, pero no solo eso sino que el resultado era correcto. La maestra le pregunto -¿como resolviste tan rápido el problema?- y el contesto -me di cuenta que si sumaba el ultimo con el primero (1+100) me daba 101, si sumaba el segundo con el penúltimo (2+99) también daba 101, y así sucesivamente hasta el 50 y 51 quetambién daban 101, así que lo que hice fue multiplicar 101*50; y así saque el resultado "5,050"-. Gauss solo tenia 10 años de edad.

Sucesiones Geométricas
Definición de sucesión geométrica
Una sucesión es una sucesión geométrica si y si hay un número real tal que para todo entero positivo ,
.
El número se conoce la razón...