Sup

ANEXO GUIA 5

Ecuaciones lineales de orden superior
Las ideas presentadas para ecuaciones lineales de segundo orden se pueden generalizar a ecuaciones lineales de orden n
dn x
dn−1 x
dx
+ a0 (t) x = f (t),
+
a
(t)
+ · · · + a1 (t)
n−1
n
n−1
dt
dt
dt

(1)

donde f (t), an−1 (t), · · · , a1 (t), a0 (t) son funciones continuas definidas en un intervalo
J. Uno de los objetivos de este anexo esmostrar que la soluci´on general x(t) de (1)
se puede escribir en la forma
x(t) = xH (t) + xP (t),
donde xH (t) es la soluci´on general de la ecuaci´
on homog´enea asociada
dn−1 x
dx
dn x
+ an−1 (t) n−1 + · · · + a1 (t)
+ a0 (t) x = 0,
n
dt
dt
dt

(2)

y xP (t) es una soluci´on particular cualquiera de (1). Tal como ocurre con las ecuaciones
lieales de segundo orden, el c´alculo expl´ıcito de xH (t) yxP (t) resulta dif´ıcil en general.
Sin embargo, cuando los coeficientes an−1 (t), · · · , a1 (t), a0 (t) son funciones constantes,
entonces xH (t) resulta ser una combinaci´on lineal de funciones del tipo
tk eα t cos βt ,

tk eα t sen βt .

(3)

El c´alculo de soluciones particulares tambien se simplifica en el caso de ecuaciones
lineales con coeficientes constantes si adicionalmente, el t´erminof (t) es una combinaci´on de funciones del tipo (3).

1.

Teor´ıa general
Ser´a conveniente escribir la ecuaci´on (1) en la forma
L [x] (t) = f (t),

(NH)

en donde L se interpreta como un operador diferencial de orden n, el cual act´
ua sobre
una funci´on n veces derivable x = x(t), t ∈ J, transform´andola en la funci´on L [x] (t).
Resolver (1) es equivalente a encontrar el conjunto de laspreim´agenes de la funci´on
f , mediante el operador L. Se demuestra sin dificultad que L es lineal, es decir
L [c1 x1 + c2 x2 ] = c1 L [x1 ] + c2 L [x2 ]
1

para cualquier par de constantes c1 y c2 y cualquier par de funciones x1 y x2 n veces
diferenciables en J.
Ejemplo. Considere el operador
L [x] =

d4 x
− x.
dt4

Entonces
L [cos 2t] = 15 cos 2t,

L t4 = 24 − t4 .

El siguiente resultado es elTeorema Fundamental de Existencia y Unicidad para
ecuaciones lineales de orden n. La demostraci´on de este resultado est´a m´as all´a de los
alcances de estas notas.
Teorema 1. Si las funciones f (t), an−1 (t), · · · , a1 (t), a0 (t) son continuas en J, entonces para cada t0 en J y cada elecci´
on de n´
umeros reales x0 , . . ., xn−1 existe una
u
´nica funci´on x = x(t), t ∈ J, que satisface (NH) y lascondiciones iniciales
x(t0 ) = x0 ,

1.1.

dn−1 x
dx
(n−1)
.
(t0 ) = x10 , · · · , n−1 (t0 ) = x0
dt
dt

(4)

Ecuaciones lineales homog´
eneas.

Esta secci´on est´a dedicada a la ecuaci´on diferencial homog´enea
L [x] = 0

(H)

Una consecuencia inmediata del Teorema Fundamental es el siguiente resultado.
Teorema 2. La u
´nica soluci´on de (H) que satisface x(t0 ) = 0, dx
(t ) = 0, . . . ,
dt 0dn−1 x
(t ) = 0 es la funci´on constante cero, x(t) = 0 para todo t en J.
dtn−1 0
Para las ecuaciones homog´eneas de orden n tambi´en vale el principio de superposici´
on de soluciones (Teorema 4, Gu´ıa 5). Es decir, si x1 (t), ..., xr (t) son soluciones de (H), y si c1 , ..., cr son constantes, entonces la combinaci´on lineal x(t) =
c1 x1 (t) + · · · + cr xr (t) es soluci´on de (H).
Ejemplo. Porreemplazo directo puede verse que x1 (t) = e−t , x2 (t) = et , x3 (t) =
cos t y x4 (t) = sen t son soluciones de
d4 x
− x = 0.
dt4

(5)

Por tanto tambien es soluci´on de (5) cualquier funci´on que se pueda escribir en la
forma
x(t) = c1 e−t + c2 et + c3 cos t + c4 sen t,

2

con c1 , c2 , c3 y c4 n´
umeros reales. Puede verificarse por ejemplo que una soluci´on de
(5) que satisface las condicionesiniciales
x(0) = 0,

dx
d2 x
d3 x
(0) = −2,
(0)
=
2,
(0) = 0,
dt
dt2
dt3

es la funci´on
x(t) = e−t − cos t − sen t.
M´as a´
un, de acuerdo con el Teorema 1 esta es la u
´nica soluci´on que satisface esas
condiciones iniciales. No sobra insistir que existen infinitas soluciones de (5) ¿Porqu´e?
Se recordar´a de los cursos de ´algebra lineal que r funciones x1 (t), · · · , xr (t), t ∈ J
son...