Superposici n MAS Apuntes y Problemas

15.- Superposición de
movimientos armónicos simples.
§15.1. Principio de superposición (429); §15.2. Teorema de Fourier (432);
§15.3. Convergencia de las series de Fourier (436); §15.4. Fuerzas impulsoras periódicas
(436); §15.5. Superposición de dos m.a.s. en una dimensión (439); §15.6. Superposición
de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares (444); Problemas (452)

§15.1. Principio desuperposición.- Las oscilaciones que hemos estudiado en
las lecciones precedentes obedecen a una ecuación diferencial de la forma

m¨x

γ˙x

kx

F(t)

[15.1]

que es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, no homogénea y de
coeficientes constantes. Ya hemos aclarado anteriormente el significado de cada uno
de esos términos. Insistiremos ahora en uno de ellos: la ecuación diferencial delmovimiento del oscilador armónico amortiguado y forzado es lineal; i.e., no contiene
potencias superiores a la primera en x, x˙ y x¨ . Así pues, es lineal en x y en sus
derivadas respecto al tiempo. Podemos escribir [15.1], simbólicamente, en la forma
⎛
⎜ m d2
⎜
2
⎝ dt

d
γ
dt

⎞
k ⎟⎟ x
⎠

F(t)

[15.2]

La cantidad entre paréntesis es un operador diferencial lineal, que representaremos
por L, de modoque, con notación compacta, podemos escribir
Lx

F(t)

[15.3]

Los operadores diferenciales lineales poseen la propiedad distributiva respecto
a la suma de funciones; esto es
L (x1 x2)

L x1

L x2

[15.4]

y también poseen la propiedad asociativa respecto al producto de una función por una
constante, de modo que, si es c una constante, será

Manuel R. Ortega Girón

429

Lec. 15.- Superposición demovimientos armónicos simples.

430

c Lx

L(cx)

[15.5]

Como consecuencia de esas propiedades se sigue el Principio de Superposición,
de modo que si tenemos dos soluciones, x1(t) y x2(t), de la ecuación diferencial [15.1],
correspondientes a dos funciones de fuerza, F1(t) y F2(t), diferentes, esto es
L x1

F1(t)

L x2

F2(t)

[15.6]

entonces, podemos sumar esas dos soluciones, multiplicadas porsendas constantes
arbitrarias, c1 y c2, y obtener
L ( c1 x1

c2 x2 )

c1 F1(t)

c2 F2(t)

[15.7]

Es decir,
las soluciones de la ecuación diferencial del movimiento del oscilador [15.1],
correspondientes a diferentes fuerzas impulsoras, son aditivas.
Esto significa que si conocemos el movimiento x1(t) del oscilador bajo la acción
de una fuerza impulsora única F1(t) y el movimiento x2(t) debido tansólo a una
fuerza impulsora F2(t), el movimiento que resultará bajo la acción conjunta de esas
dos fuerzas impulsoras se obtendrá, sencillamente, sumando x1(t) y x2(t).
Naturalmente, podemos extender la argumentación anterior para un conjunto de
soluciones xn(t), con n=1, 2, 3, ... N, de la ecuación diferencial del oscilador,
correspondientes, cada una de ellas, a una fuerza Fn(t) apropiada. ElPrincipio de
Superposición nos permite asegurar que el movimiento resultante bajo la acción
conjunta de N fuerzas impulsoras
N

F(t)
n 1

Fn(t)

[15.8]

xn(t)

[15.9]

N

x(t)

es simplemente

n 1

Así pues, estamos en condiciones de encontrar una solución particular de la
ecuación diferencial del movimiento del oscilador [15.1] para una fuerza impulsora
cualquiera F(t), con tal que sepamosexpresar dicha fuerza como una suma de fuerzas
Fn(t) para las que conozcamos las soluciones correspondientes xn(t). En particular, si
cada una de las fuerzas Fn(t) es armónica, de modo que podamos expresar F(t) en la
forma
N

F(t)
n 1

cn sen(ωnt θn)

[15.10]

donde cn (n= 1, 2, ... N) son constantes escalares que representan las intensidades
máximas de las Fn(t) respectivas1 y θn son loscorrespondientes ángulos de fase

1

Rehusamos la notación F0,n para evitar el doble subíndice.

§15.1.- Principio de superposición.

431

iniciales; entonces la solución particular de la ecuación diferencial del oscilador
(amortiguamiento débil), correspondiente al estado estacionario, será
1
m

x(t) ≡ x(t τ)

cn

N
2

δn

con

4β2ωn

2

arctg

sen(ωnt θn δn) [15.11]

2

(ω0 ω n)2

n 1

2βωn

[15.12]

ω0 ω...