T3

Tema 3

´
Algebra
de Boole y circuitos con
puertas l´
ogicas
Los circuitos que componen una computadora son muy diversos: los hay destinados a aportar
la energ´ıa necesaria para las distintas partes que componen la m´
aquina y los hay dedicados a
generar, procesar y propagar se˜
nales que contienen informaci´
on. Dentro de este segundo grupo
se distinguen a su vez circuitos que trabajan coninformaci´
on anal´
ogica y los que tratan con
valores digitales. Este cap´ıtulo se centra en el estudio de estos u
´ltimos, los circuitos digitales y
se presenta la base o fundamento te´
orico de los mismos, que es el a´lgebra de Boole.
Las puertas l´
ogicas son una manera muy conveniente de realizar circuitos l´
ogicos por lo que
son usadas en las computadoras digitales. No hay espacio paradescribirlas en detalle, por lo
que se explican los diversos tipos mostrando como se pueden realizar ciertas funciones con ellas.

3.1

´
Algebra
de Boole

En 1854 George Boole public´
o un libro titulado ”Investigaci´
on sobre las leyes del pensamiento”,
formulando un m´etodo simb´
olico para el estudio de las relaciones l´
ogicas. Sus ideas tuvieron
largo tiempo despu´es una repercusi´
on muy importanteen diversas a´reas. En el esquema ideado
por Boole, las proposiciones o sentencias s´
olo pueden clasificarse en dos grupos: las verdaderas y
las falsas. El resultado de combinar cierto n´
umero de sentencias es f´
acilmente deducible usando
las propiedades de las operaciones en el a´lgebra. En 1938 Shannon encontr´
o una aplicaci´
on:
´
los circuitos el´ectricos con interruptores. Estos puedenser analizados y dise˜
nados empleando el
a´lgebra de Boole y han hallado aplicaci´
on en diversos campos como la automatizaci´
on .
Las computadoras digitales usan codificaci´
on binaria, por lo que una unidad elemental de
informaci´
on puede tomar s´
olo dos valores: cero o uno, lo cual deja abierta la puerta al uso de
las t´ecnicas de Shannon. En efecto, la base de las computadoras son circuitosl´
ogicos como el de
la figura 3.1, los cuales son analizados mediante el a´lgebra de Boole. En dicha figura el circuito
se puede considerar como una m´
aquina que transforma se˜
nales de entrada ( la posici´
on de los
interruptores a, b, y c) en se˜
nales de salida (el estado de la l´
ampara L).
23

´
´
TEMA 3. ALGEBRA
DE BOOLE Y CIRCUITOS CON PUERTAS LOGICAS

24

b

a

batería

a
L

binterruptor

c

L

c
lámpara

Figura 3.1: Ejemplo de circuito l´
ogico con una bater´ıa, tres interruptores a, b, y c y una l´
ampara
L.

3.1.1

Elementos b´
asicos

Desde un punto de vista formal, el a´lgebra de Boole se compone de dos elementos: variables y
operaciones, que se comentan a continuaci´
on.
• Variables l´
ogicas. s´
olo pueden tomar un valor entre dos opciones excluyentes 0 y 1. En
loscircuitos con interruptores un interruptor puede estar abierto (0) o cerrado (1). Una
l´
ampara puede estar encendida (1) o apagada (0). De este modo, el estado de los distintos
elementos del circuito, se describe usando variables l´
ogicas.
• Operaciones. Las operaciones permiten combinar variables l´
ogicas para obtener como resultado otras variables. Las operaciones b´
asicas del a´lgebra de Boolese describen a continuaci´
on.
• Suma l´
ogica. Se simboliza como a + b. El valor de la suma es 1 si y s´
olo si alguno o
varios de los sumandos vale 1. El circuito de la figura 3.2 es un ejemplo que realiza
la suma l´
ogica. El valor de la variable f asociada al estado de la l´
ampara se puede
obtener como suma l´
ogica de las variables a y b correspondientes a los interruptores.
A la izquierdaen la figura se indica la tabla de sumar.
a

b
0
1

0

1

0

1

1

1

a
f = a+b
b

Figura 3.2: Tabla de verdad y circuito de la suma l´
ogica de las variables a y b.
La suma l´
ogica equivale a la operaci´
on O puesto que a + b produce un valor cierto
(1) si y s´
olo si se cumple que ”a es cierto o b es cierto”. En el circuito de la figura
3.2 se comprueba que la l´
ampara luce si y s´
olo si ”a...