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Solve (d ^ 2 y (t)) / (dt ^ 2) 8 (dy (t)) / (dt) +15 y (t) = e ^ (-5 t):
La solución general será la suma de la solución complementaria y solución particular.
Encontrar lasolución complementaria al resolver (d ^ 2 y (t)) / (dt ^ 2) 8 (dy (t)) / (dt) +15 y (t) = 0:
Supongamos una solución será proporcional a e ^ (t lambda) para algunos lambda constante.
Suplente y (t) = e^ (lambda t) en la ecuación diferencial:
(D ^ 2) / (dt ^ 2) (E ^ (lambda t)) 8 (d) / (dt) (e ^ (lambda t)) 15 e ^ (lambda t) = 0
Suplente (d ^ 2) / (dt ^ 2) (E ^ (lambda t)) = lambda ^ 2 e ^(lambda t) y (d) / (dt) (e ^ (lambda t)) = e ^ lambda (lambda t):
lambda ^ 2 e ^ (lambda t) +8 lambda e ^ (lambda t) +15 e ^ (lambda t) = 0
Factorizar e ^ (lambda t):
(Lambda ^ 2 +8 lambda +15) e ^(lambda t) = 0
! Como e ^ (lambda t) = 0 para cualquier lambda finito, los ceros debe venir del polinomio:
lambda ^ 2 +8 lambda 15 = 0
Factor:
(Lambda +3) (5 lambda) = 0
Resuelve para lambda:
lambda= -5 o lambda = -3
La raíz lambda = -5 da y_1 (t) = e ^ c_1 (-5 t) como una solución, donde c_1 es una constante arbitraria.
La raíz lambda = -3 da y_2 (t) = e ^ c_2 (-3 t) como una solución, dondec_2 es ​​una constante arbitraria.
La solución general es la suma de las soluciones anteriores:
y (t) = y_1 (t) + y_2 (t) = e ^ c_1 (-5 t) + c_2 e ^ (-3 t)
Determine la solución particular de (d ^2 y (t)) / (dt ^ 2) 8 (dy (t)) / (dt) +15 y (t) = e ^ (-5 t) por el método de coeficientes indeterminados:
La solución particular de (d ^ 2 y (t)) / (dt ^ 2) 8 (dy (t)) / (dt) +15 y (t) = e ^ (-5 t)es de la forma:
y_p (t) = t (a_1 e ^ (-5 t)), donde a_1 e ^ (-5 t) fue multiplicado por t para dar cuenta de e ^ (-5 t) en la solución complementaria.
Resuelva para la a_1 constante desconocida:Calcular (dy_p (t)) / (dt):
(Dy_p (t)) / (dt) = (d) / (dt) (a_1 e ^ (-5 t) t)
A_1 = e ^ (-5 t) -5 a_1 e ^ (-5 t) t
Calcular (d ^ 2 y_p (t)) / (dt ^ 2):
(D ^ 2 y_p (t)) / (dt ^ 2) = (d ^ 2) / (dt...