taller de matematicas 6to

167. Una p.a. de doce términos es tal que la suma de sus once primeros términos es 253. Sabiendo que la semidiferencia entre dos términos consecutivos es 2, hallar el último termino.
n = 12; S11 = 253; (a2 - a1) / 2 = 2; an = ?

(a2 - a1) / 2 = 2; d / 2 = 2; d = 4

mediante an= a1 + (n - 1) *n calculo a11; a11 = a1 + 40; 

S = (a1 + a1 + 40) * 11/ 2 = 253; 23 = (2a1 + 40) / 2; 23 = a1 +20; a1 = 3

a12 = a1 + 11d; a12 = 3 + 11 * 4
a12 = 47
168. La razón de una p.a. aritmética creciente es 2 y 11 el número de términos. Averiguar el primer término y la suma de los 11, sabiendo que el último termino es igual al cuadrado del primero.
d = 2; n = 11; a1 = ?; S11 = ?;an = a12

mediante an= a1 + (n - 1) *n calculo an; a12 = a1 + 20; 

a12 - a1 -20 = 0; resolviendo la ecuaciónresulta a1 = 5 an = 12; an = 25; 

S = (a1 + an) * n / 2; S = (5 + 25) * 11 / 2; S = 30 * 11 / 2; 
S = 165; a1 = 5
169. Los tres lados de un triángulo rectángulo están en p.a. de razón 3. Hallarlos.
n = 3; d = 3; ;an = ?;a1 = ?; a2 = ?

deberemos recordar el teorema de Pitágoras: 
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Los lados del triángulo serán:x - 3; x; x + 3

(x + 3) 2 = x2 + (x - 3)2; 

x2 + 9 + 6x = x2 + x2 + 9 - 6x 

x2= 12x; x = 12
9, 12 y 15
176. La suma de tres números en p.a. es 21 y el producto 280. Formarla.
(x- d) + x + (x + d) = 21;

3x = 21; x = 7

(x- d) * x * (x + d) = 280

(7- d) * 7 * (7 + d) = 280;

7 * (49 - d2) = 280; 49 - d2 = 40; d2= 9; d = 3
4, 7, 10
177. Hallar tres números en p.a. siendo susuma 33 y su producto 1287.
(x- d) + x + (x + d) = 33;

3x = 33; x = 11

(x- d) * x * (x + d) = 1287

(11- d) * 11 * (11+ d) = 1287;

11 * (121 - d2) = 1287; 121 - d2 = 117; d2= 4; d = 2
9, 11, 13
195. Hallar la suma de los n primeros números impares.
a1 = 1; d = 2; S = ?

an = 1 + (n - 1) * 2; an = 2n - 1

S = (1 + 2n - 1) * n / 2; S = 2n2/2
S = n2
196. Hallar la suma de los nprimeros números pares.
a1 = 2; d = 2; S = ?

an = 2 + (n - 1) * 2; an = 2n

S = (2 + 2n) * n / 2; 
S = n (n + 1)
99. El n término de una p.a. es (3n - 1)/6: Hallar el primer término, la razón y la suma de n términos.
A (3n - 1)/6, se le llama término general.

si n = 1; a1 = (3 - 1 ) / 6; a1 = 2 / 6;a1 = 1 / 3

si n = 2; a2 = (6 - 1 ) / 6; a2 = 5 / 6

por lo tanto la razón será: d = a2- a1; d = 5 / 6 - 1 / 3; d = 1 /2

S = ( 1 / 3 + (3n - 1) / 6) n / 2; S = (2 + 3n - 1 ) n / 12; S = (1 + 3n) n / 12
a1 = 1 /3; d = 1 / 2; S = (n + 3n2) / 12
200. Hallar la suma de los p primeros números positivos de la forma 4p + 1.
A 4p + 1, se le llama término general.

si p = 1; a1 = 4 + 1 ;a1 = 5

si p = 2; a2 = 8 + 1; a2 = 9

por lo tanto la razón será: d = a2 - a1; d = 9 - 5; d =4

S = ( 5 + 4p + 1) p / 2; S = (6 + 4p) p / 2; S = (3 + 2p) p 
S = 3p + 2p2
203. Hallar el primer término y la razón de una p.a. sabiendo que la suma de los n primeros términos es igual al cuádruplo de n2, para cualquier valor de n.
a1 = ?; d = ?; S = 4n2

si n = 1; S = 4n2; S = 4; a1 = 4

si n = 2; S = 4n2; S = 16; a1 + a2 = 16; a2 = 16 - 4; a2 = 12

d = a2 - a1; d = 12 - 4; d = 8a1 = 4; d = 8
205. Hallar la p.a. en la que la suma de sus n primeros términos es n2/2, para todos los valores de n.
si n = 1; S = n2/ 2; a1 = 1 /2

si n = 2; S = n2/ 2; S = 2; a1 + a2 = 2; a2 = 2 - 1 / 2; a2 = 3 / 2

d = a2 - a1; d = 3 / 2 - 1 / 2; d = 1
1/2, 3/2, 5/2, ...
206. Hallar una p.a. tal que la suma de sus n primeros términos sea igual a n ( 3n + 1), para todos lo valores de n.si n = 1; S = n ( 3n + 1); a1 = 4

si n = 2; S = n ( 3n + 1); S = 2 (6 + 1); S = 14; a1 + a2 = 14; a2 = 14 - 4; a2 = 10

d = a2 - a1; d = 10 - 4; d = 6
4, 10, 16, ...
El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progesión.
a2= 6;                 a5= 48;        
 an = ak · r n-k
48 = 6 r5-2 ;          r3 = 8;                r = 2.
a1= a2 / r; a1= 6/2= 3...