Taller geometria

Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Instituto de Matematicas
Cursos de Servicios para Ude@

Geometr´ıa Vectorial
Taller-Parcial 1

1. Diga cuales de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Respuesta sin justificar no es valida.
a. Si det(A) = det(B), entonces necesariamente A = B.
b. Si F1 , F2 , F3 , F4 son matrices elementales del mismo orden, entonceses posible que
det(F1 · F2 · F3 · F4 ) = 0
c. Si a, b ∈ E3 , con ||a|| = ||b|| y a

b, entonces a = b

d. Si λa y β b tienen sentidos opuestos, entonces a y b tienen sentidos opuestos.


α−1
2. Determine todos los valores de α para los cuales la matriz D =  −2
0

3. En un tri´
angulo
0.

0
α+2
0


1
−1  no es invertible.
α+1

−−→ −−→ −−→
ABC, M, N,R son los puntos medios de AB, BC y CA,respectivamente. Demuestre que AN +BR+CM =

4. Determine la ecuaci´
on vectorial, param´etrica y cartesiana del plano que contiene la recta L(B, S) y pasa por el punto
H(2, 1, 0) siendo B(−1, −2, −3) y S(0, −7, 2).
5. Determine si cada una de las proposiciones siguientes es Falsa (F) o Verdadera (V) y Justifique su respuesta. En caso
de ser Falsa, argumente con un contraejemplo:
Para A, B, C ∈ Rnxn
a.Si det C = 1 entonces C = I
b.
Si a = b entonces a = b
c.
Si detA = detB entonces necesariamente A = B
d.
Si a b , entonces a y b est´
an sobre la misma recta
e.
Si det(A.B) = det(B.A) entonces necesariamente A.B = B.A
a c
f.
Si A =
, se cumple que adj(adj(A)=A
c d
La regla de Cramer siempre permite resolver cualquier S.E.L(n,n)
g.
h.
Si det(A.B) = 1 entonces necesariamente A y B son invertiblesi.
Si a + b = a + b para a, b = 0 , entonces a b
j.
Siempre se cumple que det(A.B) = det(A).det(B)



2 1
1
6. Sea la matriz A = 0 −1 −2 :
0 3
2
a. Calcular la matriz Adj (A)
b. Calcular el determinante de la matriz A
c. Diga si la matriz es invertible y en caso de serlo halle su inversa
1
d. Si A es invertible verifique que det(A−1 ) =
detA
e. Si A es invertible determine que A.A−1 = I

7.Resuelva uno de los dos problemas siguientes :
a. Determine los valores de λ para los cu´
ales la matriz dada NO es invertible:


λ−3
0
3
 0
λ+2
0 
−5
0
λ+5

b. Utilice la regla de Cramer, si es posible, para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
4x
x
3x

− 3y
+ 3y
− y

+ 3z
+ z
+ 2z

=8
=7
=1

−−→ −−→ −→
−−→ −−→ −−→
8. En un tri´
angulo ABC, M, N, R son los puntos medios de AB,BC y CA, respectivamente. Demuestre que: AN +BR+CM =
0

9. Determine la ecuaci´
on vectorial, param´etrica y sim´etrica de la recta que pasa por el punto F (−3, 0, 2) y es paralela al
−−→
vector M K con M (0, −2, −6) y K(−1, −5, −2)
10. Responder falso o verdadero. Justifique una Verdadera y de un contrajemplo de una de las propiedades Falsas:
a) ( ) Si det(AB) = 0 entonces det(A) = 0 ´
o det(B) =0
b) ( ) Si det(AB) = det(BA), entonces necesariamente AB = BA
c) ( ) La regla de Cramer siempre permite resolver cualquier S.E.L(n×n) .
d ) ( ) Si a b y λ > 0, β > 0, entonces necesariamente λa y β b tienen el mismo sentido.
e) ( ) Si a y b est´
an en E3 , siempre se cumple que a + b



2
2
3 −3
11. La inversa de la matriz A = −1 −2 2  es A−1 = 1
2
4
6 −7
 
−2
a) Resolver el sistema AX =b, donde b =  1 .
0
b) Calcular

−1
1
2A

y AT

−1

= a + b

3
0
−2 −1 .
0 −1

.

12. Solucione el siguiente sistema a trav´es de la Regla de Cramer
4x − 3y + 3z = 8
x + 3y + z = 7
3x − y + 2z = 1
13. En un cuadril´
atero ABCD, Sean E, F, G, H los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA respectivamente. Demuestre
vectorialmente que AF + BG + CH + DE = 0.
14. Sean A = (−3, 2, 0), B = (1,−3, 2) y C = (6, −4, 0) vectores coordenados.
a) Calcular las coordenadas y la magnitud del vector 2A + B − C.
b) Hallar un vector unitario u en la direcci´
on del vector A.
c) Hallar un vector de longitud 4 en la direcci´on opuesta del vector A.
d ) Expresar el vector 4A − 3B + 2C en t´erminos de la base

i, j, k .

15. De las siguientes afirmaciones verificar falsedad o veracidad, justificando...