TALLER PID

INFORME
En el siguiente trabajo se desarrollan diferentes técnicas para el calculo de los parámetros de un controlador PID y al final se diseña un controlador feedforward para una perturbación al sistema original.
En la siguiente figura se muestra el diagrama de bloque del sistema.


R(S)
Gc Gv Gp


Gm

Donde:
Función de transferencia de la válvula

Función de transferencia del procesoFunción de transferencia del canal de medición

Función de transferencia del controlador P.I.D.

Ahora se harán los cálculos de los parámetros del regulador P.I.D. utilizando diferentes métodos.

MÉTODO DE LAS OSCILACIONES PERMANENTES (MOP)

Se hará de forma analítica utilizando el diagrama de BODE.
Se traza el diagrama de BODE a lazo abierto con el controlador proporcional de ganancia uno (kc=1).Utilizando la programación en matlab que a continuación se muestra; se obtiene los siguientes resultados:



clc;
hold off;
t=0:0.01:20;
%funcion de transferencia de la válvula
kv=0.54;
tv=1;
dv=[tv 1];
Gv=tf(kv,dv);

%funcion de transferencia del proceso
kp=.15;
tp=2.8;
dp=[tp 1];
Gp=tf(kp,dp);

%funcion de transferencia del canal de medicion
km=1;
tm=0.6;
dm=[tm 1];
Gm=tf(km,dm);

%funcion detransferencia a lazo cerrado
Gs=series(Gv,Gp);
Gslc=feedback(Gs,Gm,-1)

%raices de la ecuacion caracteristicas
[nsp,dsp] = tfdata(Gslc,'v');
roots(dsp);

% CALCULOS DE LOS PARAMETROS DEL REGULADOR UTILIZANDO
% EL METODO DE OSCILACIONES PERMANENTES (MOP) POR
% Diagrama de Bode

Gla=series(Gs,Gm); %FUNCION DE TRANSFERENCIA A LAZO ABIERTO
%margin(Gla); %DIAGRAMA DE BODE
grid
[Km,Pm,Wg,Wp] =margin(Gla);

% Km es K critica y Wg es w critica
kcrit=Km;
Pc=2*pi/Wg;

% PARAMETRO DEL CONTROLADOR PID SEGUN TABLA DE ZIEGLE-NICHOLS
kc=kcrit/1.7;
ti=Pc/2;
td=Pc/8;

% CONTROLADOR PID = KC*[1 + 1/tiS + tdS]
Gc=pidar(kc,ti,td); % pidar() es una funcion creada para el calculo
% de la funcion de tranferencia del P.I.D.
% FUNCION DE TRANFERENCIA DEL SISTEMA CON ELCONTROLADOR
Gst=series(Gs,Gc)
Gt=feedback(Gst,Gm,-1);

hold on;
step(Gslc,t); % Grafica del comportamiento del sistema sin PID
step(Gt,t); % Grafica del comportamiento del sistema con PID
grid

Para el calculo de la función de transferencia del controlador P.I.D. se realizo una función en matlab llamada . Cuyos comandos son:

function [Gcf]=pidar(kcf,tif,tdf)

%programa de pid = Kc( 1 + 1/(tiS)+ tdS )% CONTROLADOR PID = KC*[1 + 1/tiS + tdS]
Gcp=tf(1);
Gci=tf(1,[tif 0]);
Gcd=tf([tdf 0],1);
Gc1=parallel(Gcp,Gci);
Gc2=parallel(Gc1,Gcd);
% FUNCION DE TRANFERENCIA DEL CONTROLADOR PID
Gcf=series(Gc2,kcf);

End


Con el comando margin() se obtienen la “k” critica y “w” critico, y se calculan los parámetros del controlador con la Tabla de Ziegler y Nichols. Que se observan en el programa.




Y losresultados son los siguientes:

kcrit = 151.9187
Pc = 3.8824
kc = 89.3639
ti = 1.9412
td = 0.4853

En la figura se observa la respuesta del sistema sin el controlador y con el controlador PID con los parámetros calculados anteriormente.




Se puede observar que la respuesta del sistema al escalón unitario es sobreamortiguada y con el valor en estado estacionario de 0.08aproximadamente.
En cambio, al colocarle el controlador el sistema se comporta ahora como sub-amortiguado siguiendo la respuesta en estado estacionario a la entrada, es decir, mejoro notablemente su respuesta.




MÉTODO DE LA CURVA DE REACCIÓN DEL PROCESO.


En este método se abre el lazo y se aplica el estímulo a la válvula directamente, observándose que la respuesta a un paso escalón tiene una formasigmoidal que puede ser aproximada por un modelo de primer orden con retardo.
Para calcular los parámetros se traza una resta tangente al punto de inflexión. Para tal fin se utilizo un polinomio interpolante a la función original.
Para tal fin se utilizo el siguiente programa




clc;
hold off;
t=0:0.01:25;
%funcion de transferencia de la válvula
kv=0.54;
tv=1;
dv=[tv 1];
Gv=tf(kv,dv);

%funcion de...