Tarea De Aplicada Luis Vallejo

Ejercicios de Transformada de Laplace y Serie de Fourier
Tarea Recuperativa
Luis Vallejo C.I.:20.680.195
1) Determine la solucion de la siguiente Ecuacion Diferencial Ordinaria:
y 0 (t)
Sol.:

Rt
0

sin (x) y (t

x) dx = sin (4t) + (t

3 ) , con y (0) = 1

Aplicando transformada de Laplace a la ecuacion diferencial:
L (y 0 (t)) = sL (y)

y (0)

L (sin (t)) =

1
s2 + 1

L (sin (4t)) =

4
s2 + 16L ( (t

3 )) =

Rt
y como: 0 sin (x) y (t x) dx = sin (t)
volución: L (f (t) g (t)) = F (s) G (s)

1
e
s

3 s

y (t) y la transformada de la con-

Entonces:
Z

t

sin (x) y (t

0

Z

x) dx = L (sin (t)) L (y (t))

t

sin (x) y (t

x) dx =

0

s2

1
L (y (t))
+1

Sustituyendo en la ecuacion:
L (y)

1

1
4
1
L (y (t)) = 2
+ e
s2 + 1
s + 16 s

Despejando L (y) queda:

1

3 s

L (y)

=

L (y)

=

L(y)

=

L (y)

=

s2 + 1
4 s2 + 1
s2 + 1
+
e 3 s+
2
2
3
(s + 16) s
s
s2
4 s2 + 1
s2 + 16 s2 + 1
s2 + 1
+
e
+
(s2 + 16) s2
s2 (s2 + 16)
s3
s2 + 1
4 s2 + 1 + s2 + 16 s2 + 1
+
e 3
(s2 + 16) s2
s3
s2 + 1 s2 + 20
s2 + 1
+
e 3 s
2
2
(s + 16) s
s3

3 s

s

Aplicando transformada inversa de Laplace a cada sumando:
!
s2 + 1 s2 + 20
s2 + 1
1
3 s
y (t) = L
+
e
(s2 + 16) s2
s3
Para el primer sumando: L

1

(s2+1)(s2 +20)
(s2 +16)s2

Aplicando division entre polinomions tenemos que :
5 s2 + 4
s2 + 1 s2 + 20
=1+ 2 2
2
2
(s + 16) s
s (s + 16)
Y aplicando fracciones parciales a partir de

5(s2 +4)
s2 (s2 +16)

tenemos:

5 s2 + 4
As + B
Cs + D
=
+ 2
s2 (s2 + 16)
s2
s + 16
Calculando los coe…cientes :

5 s2 + 4
s2 (s2 + 16)

=

As + B
Cs + D
+ 2
s2
s + 16

5s2 + 20

=

(As + B) s2 + 16 + (Cs + D) s2

5s2 +20

= As3 + 16As + Bs2 + 16B + Cs3 + Ds2

20 = 16B
0 = 16A
5 = B+D
0 = A+C
2

Resolviendo el sistema obtenemos los coe…cientes A,B,C y D
A=0 B=

5
4

C=0 D=

15
4

5 s2 + 4
15
5
= 2+
2
2
2
s (s + 16)
4s
4(s + 16)
Entonces el primer sumando queda de la siguiente forma:
s2 + 1 s2 + 20
5
15
=1+ 2 +
2
2
2
(s + 16) s
4s
4(s + 16)
Y su transformada inversa:

L

1

s2 + 1 s2 + 20
(s2 + 16) s2

L

1

s2+ 1 s2 + 20
(s2 + 16) s2

!
!

5
15
+
4s2
4(s2 + 16)

= L

1

1+

= L

1

(1) + L

5
4s2

1

+L

15
4(s2 + 16)

1

Donde todas son transformadas inversas de la tabla:
!
s2 + 1 s2 + 20
5
15
1
= t + (t) +
sin 4t
L
(s2 + 16) s2
4
16
Para el segundo sumando
Por Tabla:

L

1

s2 + 1
e
s3

3 s

2

L

1

s +1
e
s3

3 s

!
!

(s2 +1)
s3

=

=

e

3 s

:

(t

3 )L

(t

h

1

3 ) (t

s2 + 1
s3

!

t=t 3

i2
3 ) +1

Entonces, sumando ambas expresiones obtenemos a y (t):
y (t) =

5
15
t + (t) +
sin 4t + (t
4
16

3

h
3 ) (t

i
2
3 ) +1

2) Dado
el siguiente sistema de Ecuaciones Diferenciales determine f (t)
(
d
d2
d
dt f (t) = dt22 g (t) + 4 dt g (t) + t cos (t)
y g (t)
con g 0 (0) = 1, g (0) = 1,
d
d
t
dt2 g (t) = dt f (t)
f (0) = 5
Sol.:
Aplicando Transformada de Laplace en el sistema:
8
< L

ddt f

:

(t) = L
L

d2
dt2 g (t)
2

d
dt2 g (t)

d
dt g (t)

+ 4L

d
dt f

=L

(t)

+ L (t cos (t))
t

f (0) = 5; g (0) = 1; g 0 (0) = 1

Resolviendo cada transformada por separado
L (f 0 (t)) = sL (f )

f (0)

L ((g 0 (t))) = sL (g)
L (g 00 (t)) = s2 L (g)
L (f 0 (t)

g (0)

g 0 (0)

t) = sL (f )

sg (0)

f (0)

1
s2

n

1 d
ds

como L (tn f (t)) = ( 1) F n (s) entonces: L (t cos (t)) = ( 1)
L (tcos (t)) = 2

s2
(s2

(L (cos (t)))

1
s2 + 1

2

+ 1)

Sustituyendo en el sistema:

s2 L (g)

sL (f )

f (0)

= s2 L (g)

g 0 (0)

sg (0)

= sL (f )

g 0 (0)
f (0)

4

sg (0) + 4 (sL (g)
1
s2

2

g (0)) + 2 (s2s+1)2

s2

1
+1

sL (f )
s2 L (g)

= s2 L (g)

5

1

1

s = sL (f )

1

1) +

2s2
(s2

1
s2 + 1

2

+ 1)

1
s2

5

= s2 L (g)

sL (f )
s2 L (g)

s + 4 (sL (g)

s = sL (f )

s + 4sL (g) +2s2

1
s2 + 1

2

(s2

+ 1)

1
s2

5

(2.1)
(2.2)

Sustituyendo( 2.1 ) en (2.2) y despejando L (g)
s2 L (g)

s = s2 L (g)

1

1

=

4sL (g)

=

L (g)

=

2s2

s + 4sL (g) +

4sL (g) +

2s2
2

1
s2 + 1

2

(s2 + 1)
1
1
s2 + 1 s2

1
s2

5

5

(s2 + 1)
1
1
2s2
4
2 + s2 + 1 + s2
2
(s + 1)
1
1
s
+ 3
+
2
2
4s (s + 1) 4s
2 (s2 + 1)

1
s

(2.3)

Sustituimos (2.3) en (2.1) y despejamos L (f ) :
sL (f )...