Tarea Fisica
Páginas: 7 (1554 palabras)
Publicado: 31 de mayo de 2012
Universidad de Santiago
Departamento de matemáticas
Área tecnológica
Aplicaciones de la derivada
Alumno: Fabián Villablanca Pizarro
Profesor: Miguel A. Vásquez Barriga
Carrera: Tecnólogo en automatización industrial
Introducción
La derivada y el problema de la recta tangente:
El cálculo se desarrolló a la sombra de 4 problemas sobre lo que estaban trabajando los matemáticos deese tiempo mayormente europeos a mediados del siglo XVII.
1._ El problema de la recta tangente
2._ El problema de la velocidad y la aceleración
3._ El problema de los máximos y mínimos
4._ El problema del área
Cada uno de ellos involucra la noción de límite y podría servir como la introducción al cálculo.
La primera solución real se le suele atribuir a Isaac Newton (1642-1727) y aGottfried Leibniz (1646-1726). El trabajo de Newton en este problema provenía de su interés por la refracción de la luz en óptica.
La recta tangente a la curva en un punto significa hallar la pendiente de la recta tangente usando la recta secante que pasa por un punto P y por otro punto cercano de la curva como lo indican las siguientes figuras:
Mi objetivo en este trabajo es demostrar a partirde ejercicios las diferentes aplicaciones de la derivada, es decir las cosas que se pueden hacer con la derivada.
Aplicaciones de la derivada
Extremos relativos y números críticos
fx=x3-3x2 Tiene un máximo relativo en el punto (0,0) y un mínimo relativo en el punto (2,-4). De manera coloquial se puede decir que un máximo relativo ocurre en un “cima” de la gráfica y un mínimo relativo enun “valle”. Tales cimas y valles pueden aparecer de 2 formas. Si son redondeados y suaves, la gráfica tiene en ellos tangente horizontal. Si son abruptos y angulosos, la gráfica representa una función que no es derivable en un punto de cima o valle.
Ejercicio 1:
Calcular la derivada en cada uno de los extremos relativos que se indican.
a) La derivada de:
fx=9(x2-3)x3
Esf'x=x318x-(9)(x2-3)(3x2)x3
= 9(9-x2)x4
En el punto (3,2), el valor de la derivada es f3=0
Teorema de Rolle
El teorema de los valores extremos establece que una función continua en un intervalo cerrado (a,b) alcanza necesariamente un valor máximo y un valor mínimo en él. Ahora bien, estos valores pueden producirse en los puntos terminales. El teorema de Rolle, llamado así en honor delmatemático francés Michel Rolle (1652-1719), establece condiciones suficientes para garantizar la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.
Sea f continua en el intervalo cerrado (a,b) y derivable en el intervalo abierto (a,b) si:
fa=f(b)
Existe al menos un numero c en (a,b) tal que f'c=0
Ejemplo 1: Hallar las 2 x-intersecciones de:
fx=x2-3x+2
Y probarque f'x=0 en algún punto intermedio
Desarrollo: f es derivable en toda recta real. Al igualar f(x) a cero obtenemos
x2-3x+2 Igualar fx a cero
x-1x-2=0 Factorizar
De esta manera, f1=f2=0, luego el teorema de rolle asegura la existencia de al menos un c en el intervalo (1,2) tal que f'c=0. Para encontrar ese c, basta con resolver laecuación:
f'x=2x-3=0 Igualar f'x a cero
Y determinamos que f'x=0 en x=32. Observemos que este valor de x está en el intervalo abierto (1,2)
El teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un punto entre a y b donde la derivada es cero. Ahora bien, puede suceder que haya más de un punto que cumpla esa condición.
Problemas de derivadas
1._ Tenemos que el rendimientou en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:
u = 400t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
a. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
b. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
c. ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
Desarrollo:
a. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
u = 400t − 400t²
u′ =...
Departamento de matemáticas
Área tecnológica
Aplicaciones de la derivada
Alumno: Fabián Villablanca Pizarro
Profesor: Miguel A. Vásquez Barriga
Carrera: Tecnólogo en automatización industrial
Introducción
La derivada y el problema de la recta tangente:
El cálculo se desarrolló a la sombra de 4 problemas sobre lo que estaban trabajando los matemáticos deese tiempo mayormente europeos a mediados del siglo XVII.
1._ El problema de la recta tangente
2._ El problema de la velocidad y la aceleración
3._ El problema de los máximos y mínimos
4._ El problema del área
Cada uno de ellos involucra la noción de límite y podría servir como la introducción al cálculo.
La primera solución real se le suele atribuir a Isaac Newton (1642-1727) y aGottfried Leibniz (1646-1726). El trabajo de Newton en este problema provenía de su interés por la refracción de la luz en óptica.
La recta tangente a la curva en un punto significa hallar la pendiente de la recta tangente usando la recta secante que pasa por un punto P y por otro punto cercano de la curva como lo indican las siguientes figuras:
Mi objetivo en este trabajo es demostrar a partirde ejercicios las diferentes aplicaciones de la derivada, es decir las cosas que se pueden hacer con la derivada.
Aplicaciones de la derivada
Extremos relativos y números críticos
fx=x3-3x2 Tiene un máximo relativo en el punto (0,0) y un mínimo relativo en el punto (2,-4). De manera coloquial se puede decir que un máximo relativo ocurre en un “cima” de la gráfica y un mínimo relativo enun “valle”. Tales cimas y valles pueden aparecer de 2 formas. Si son redondeados y suaves, la gráfica tiene en ellos tangente horizontal. Si son abruptos y angulosos, la gráfica representa una función que no es derivable en un punto de cima o valle.
Ejercicio 1:
Calcular la derivada en cada uno de los extremos relativos que se indican.
a) La derivada de:
fx=9(x2-3)x3
Esf'x=x318x-(9)(x2-3)(3x2)x3
= 9(9-x2)x4
En el punto (3,2), el valor de la derivada es f3=0
Teorema de Rolle
El teorema de los valores extremos establece que una función continua en un intervalo cerrado (a,b) alcanza necesariamente un valor máximo y un valor mínimo en él. Ahora bien, estos valores pueden producirse en los puntos terminales. El teorema de Rolle, llamado así en honor delmatemático francés Michel Rolle (1652-1719), establece condiciones suficientes para garantizar la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.
Sea f continua en el intervalo cerrado (a,b) y derivable en el intervalo abierto (a,b) si:
fa=f(b)
Existe al menos un numero c en (a,b) tal que f'c=0
Ejemplo 1: Hallar las 2 x-intersecciones de:
fx=x2-3x+2
Y probarque f'x=0 en algún punto intermedio
Desarrollo: f es derivable en toda recta real. Al igualar f(x) a cero obtenemos
x2-3x+2 Igualar fx a cero
x-1x-2=0 Factorizar
De esta manera, f1=f2=0, luego el teorema de rolle asegura la existencia de al menos un c en el intervalo (1,2) tal que f'c=0. Para encontrar ese c, basta con resolver laecuación:
f'x=2x-3=0 Igualar f'x a cero
Y determinamos que f'x=0 en x=32. Observemos que este valor de x está en el intervalo abierto (1,2)
El teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un punto entre a y b donde la derivada es cero. Ahora bien, puede suceder que haya más de un punto que cumpla esa condición.
Problemas de derivadas
1._ Tenemos que el rendimientou en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:
u = 400t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
a. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
b. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
c. ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
Desarrollo:
a. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
u = 400t − 400t²
u′ =...
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