Tarea métodos matemáticos ingeniería

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERÍA
CENTRO DE MINERÍA

INFORME TAREA 2
IMM2650 MÉTODOS MATEMÁTICOS APLICADOS A INGENIERÍA

Teoría
Se tiene la siguiente ecuación bidimensional de calor de una barra con condiciones en los límites del tipo mixtas Dirichlet-Neumann sobre el dominio:
QT≡0,lx x 0,ly x (0,T)
Se debe encontrar la función θx,y,t: QT→R(P)∂θ∂tx,y,t-∂∂xσxx,t∂θ∂xx,y,t-σyt∂2θ∂y2x,y,t=qx,y,t, ∀x,y,t∈QT∂θ∂xx,y,t=0, ∀x,y,t∈ 0 x 0,ly x (0,T) ∂θ∂xx,y,t=qy,t ∀ x,y,t∈ lx x 0,ly x (0,T) θx,y,t=h1x,t, ∀x,y,t∈ 0,lx x 0 x (0,T) θx,y,t=h2x,t,∀x,y,t∈ 0,lxxlyx(0,T) θx,y,t=θ0x,y, ∀x,y,t∈ 0,lxx(0,ly)x(0,T)
Además se entregan los siguientes datos: T=150, N=5000, lx=14, ly=10, Mx=66, My=42, θ0(x,y)=298
gy,t=1000e-0.05tsinπyly
h1x,t=298
h2x,t=298e-0.3t
σxx,t=10-4t3xlx-x+0.01
σyt=4e-0.01t
qx,y,t=50*f2x-lxlx,2y-lyly*1T3,T2(t)Con:
fx,y=x1.7+0.1e3xsin13x1+x2sin⁡10π5-3y
1Ax=1 si x ∈A0 si x ∉A
Considerando los siguientes pasos de discretización en espacio y tiempo:
∆x=lxMx+1
∆y=lyMy+1
∆t=TN
A modo de simplificación se utilizarán las siguientes abreviaciones:
θi,jn≈θ(xi,yj,tn)
gi,jn≈g(xi,yj,tn)
h1 jn≈θ(xi,tn)
h2 jn≈θ(xi,tn)
fi, j ≈f(xi,yj)
qi, jn≈q(xi,yj,tn)
Considerando las siguientes aproximacionespara el δ-esquema:

∂θ∂txi,yj,tn≈ θi,jn+1-θi,jn∆t
∂2θ∂x2xi,yj,tn≈ θi+1,jn-2θi,jn-θi-1,jn∆x2
∂2θ∂y2xi,yj,tn≈ θi,j+1n-2θi,jn-θi,j-1n∆y2

Y las siguientes discretizaciones:
μx=σx*∆t∆x2
μy=σy*∆t∆y2
μxn=(dσdx)*∆t∆x

Así, el problema (P) discretizado y empleando el δ-esquema es:θi,jn+1-θi,jn-δμxn*(θi+1,jn+1-θi,jn+1)+μx*θi+1,jn+1-2θi,jn+1+θi-1,jn+1+μy*θi,j+1n+1-2θi,jn+1+θi,j-1n+1-1-δμxn*(θi+1,jn-θi,jn)+μx*θi+1,jn-2θi,jn+θi-1,jn+μy*θi,j+1n-2θi,jn+θi,j-1n=δqi,jn+1+1-δqi,jn*∆t
Con: i∈1,…,Mx, j∈1,…,My,n∈1,…,N-1

Discretizando las condiciones de borde, se obtiene:
∂θ∂x0,y,t=0 → θ1,jn+1-θ0,jn+1∆x=0→θ1,jn+1=θ0,jn+1
∂θ∂xlx,y,t=g(y,t) → θMx+1,jn+1-θMx,jn+1∆x=gjn+1
θx,0,t=h1x,t→θi,0n+1=h1 in+1
θx,ly,t=h2x,t→θi,My+1n+1=h2 in+1
θx,y,0=θ0x,y→θi,j0=θi,j
Expresando ahora el problema (P) demanera matricial:
Bδθn+1=Cδθn+b(δ,n)
Donde:
θn+1, θn, b∈ RMx+2(My+2)
Bδ, C(δ)∈ RMx+2My+2xMx+2(My+2)
Y los vectores antes citados serán:
Matriz del tiempo n+1:
Bδ=[I][0][0][By][Bd][By][0][By][Bd] [0][0][0][0][By][0]⋯ [0]⋮ ⋮⋱⋮ ⋮ [0]… ⋯0ByBd[0][0][By][0][0][0] [By][0][Bd][By][0][I]

Con:
Bdδ=1-10-δμx1+δ[2μx+μy+μxn]-δ(μx+μxn) 0-δμx1+δ[2μx+μy+μxn] 00-δ(μx+μxn)⋯ 0 ⋮⋱⋮ 0 ⋯ -δμx1+δ[2μx+μy+μxn]-δ(μx+μxn) -11

Byδ=000-δμy00 0000-δμy0 ⋯ … 0 ⋮⋱⋮ 0 …⋯0-δμy0000 00-δμy000
Matriz del tiempo n:
Cδ=[0][0][0][Cy][Cd][Cy][0][Cy][Cd] [0][0][0][0][Cy][0]⋯ [0]⋮ ⋮⋱⋮ ⋮ [0]… ⋯0CyCd[0][0][Cy][0][0][0] [Cy][0][Cd][Cy][0][0]
Con:
Cd(δ)=000(1-δ)μx1-(1-δ)[2μx+μy+μxn]1-δ[μx+μxn] … 0 ⋮⋮⋱ 0⋯(1-δ)μx1-(1-δ)[2μx+μy+μxn]1-δ[μx+μxn]001

Cyδ=000(1-δ)μy00 0000(1-δ)μy0 ⋯ … 0 ⋮⋱⋮ 0 … 0(1-δ)μy0000 00(1-δ)μy000

Además:
[I]=100010001⋯ 0 0 ⋮⋱⋮ 0 ⋯100010001

[0]=000000000⋯ 0 0 ⋮⋱⋮ 0 ⋯000000000...