tarea

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA
PARAMÉTRICA
⎧ x = f (t )
⎪
f:⎨
; t ∈ ⎡a, b⎤
⎣
⎦
y = g (t )
⎪
⎩
De la regla de la cadena
dydy dt
=
dx dt dx
dt
En donde
se puede calcular despejando " t " de
dx
x = f ( t ) , lo que no siempre es fácil y en ocasiones es
dt
imposible. Otra forma de calcular
es usando la derivadadx
de la función inversa, por la cual,
dt
1
=
dx dx
dt
de donde, sustituyendo en la regla de la cadena, se llega a:
dy
dy dy 1
dy dt
dy g ' ( t )
=
⇒
=
⇒
=
dx dt dx
dx dx
dx f ' ( t)
dt
dt
Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener la derivada
⎧ x = 2t 2 − t
⎪
f:⎨
; t≥0
⎪y = + t − 1
⎩
i) Por medio de la fórmula obtenida.
ii) Eliminando el parámetro " t " y derivandoel resultado.

dy
:
dx

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

Ejemplo. Dadas las ecuaciones paramétricas de la cicloide:
⎧ x = 2 (θ − senθ )
⎪
⎨
⎪ y = 2 (1− cos θ )
⎩
dy
π
calcular laderivada
y evaluarla para θ = .
dx
4

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Ejemplo. Calcular la derivada

dy
dx

3

para función siguiente

en el punto donde t = 0 :
⎧ x = ang cot 1− t
⎪
f:⎨⎪y = ang tan 1+ t
⎩

DERIVADAS DE ÓRDENES SUPERIORES
Sea una función f definida en un cierto intervalo ( a, b ) .
Entonces, su derivada f ' es a su vez otra función definida en
un subconjunto dedicho intervalo, y la operación puede
repetirse, obteniéndose la segunda derivada que también es
una función definida en un subconjunto del intervalo ⎡a, b⎤.
⎣
⎦
Para denotar a las derivadassucesivas de órdenes
superiores, se emplean los siguientes símbolos:
dy
d2 y
y = f ( x) ; y ' =
= f ' ( x ) ; y '' =
= f '' ( x )
dx
dx 2
d3 y
y ''' =
= f ''' ( x ) ; …
dx 3
x3
Para ilustraresto, considérese la función f ( x ) =
definida
3
en el intervalo ( −2,2 ) y sean sus tres derivadas sucesivas:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

f '( x ) = x

2

;

f '' ( x ) = 2 x

;...