Tarea

José María Sorando Muzás

Teoría de Números

La Teoría de Números
Al pensar que todo podía explicarse con los números, los Pitagóricos establecieron gran
cantidad de clasificaciones entre los éstos y se dedicaron a descubrir sus propiedades. Así
iniciaron una rama de las Matemáticas que hoy se conoce como la Teoría de Números, que
en el siglo XVII tendría un nuevo impulso con Fermat y yaen el siglo XX ha encontrado
aplicaciones insospechadas.
Sumas de impares y de pares.- Los Pitagóricos construían sus teoremas juntando piedrecillas para cada número. Así
observaron, por ejemplo, que al sumar términos de la sucesión de los números impares:
1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 42

y, en general, que:

1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) es un cuadrado perfecto

... etc.- Descubrieron también que al sumar términos de la sucesión de los números pares:
2+4=6=2· 3

2 + 4 + 6 = 12 = 3 · 4

2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 · 5

... etc.

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦

Se obtienen unos números (6, 12, 20...)que se pueden descomponer como producto de dos
factores consecutivos. Por lo tanto, se pueden representar como rectángulos de piedrecillas.
Les llamaron “números oblongos o rectangulares”.
Suma de los divisores.Un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores distintos de él. Si supera
dicha suma, se llama abundante. Si no llega a dicha suma, se llama defectuoso Por
ejemplo:
6 = 1+ 2 +3 ⇒ 6 es perfecto

4 > 1 + 2 ⇒ 4 es abundante

12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ⇒ 12 es defectuoso
Ejercicio 1: ¿Hay algún otro número perfecto menor que 100?.
También son números perfectos: 496 , 8.128 , 33.550.336 ...
Amigos.Se cuenta que en una ocasión le preguntaron a Pitágoras: “¿Para ti qué es un amigo?”. Y
respondió: “Otro yo”. La aplicación de esta forma de concebir la amistad a laTeoría de los
Números, condujo a decir que: dos números son amigos cuando cada uno de ellos es
igual a la suma de los divisores del otro. Por ejemplo:
Divisores de 284: 1 , 2 , 4 , 71 , 142.
Divisores de 220: 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 11 , 20 , 22 , 44 , 55 , 110
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142

Así, que 220 y 284 son números amigos.

Ejercicio1 bis: Un número perfecto, ¿tiene algún número amigo?.

5

José María Sorando Muzás

Teoría de Números

Números poligonales.Para construir con piedras triángulos equiláteros cada vez mayores, se necesitan:
1 , 3 , 6 , 10 , 15 ... etc. Por ello, los Pitagóricos llamaron a éstos los números triangulares.
De forma análoga, definieron los números cuadrados, números pentágonos, númeroshexágonos, etc. En la siguiente tabla tienes los 4 primeros números de cada tipo:

Ejercicio 2: Completa las columnas 5 y 6 de la tabla anterior.
Ejercicio 3: Cada clase de números poligonales forma una sucesión en la que se puede
encontrar una expresión para su término general. En el siguiente cuadro hay dos; completa
las otras dos que faltan:

6

José María Sorando Muzás

Teoría deNúmeros

Después, calcula cuál es el 10º número triangular, el 12º número cuadrado, el 11º número
pentágono y el 9º número hexágono... sin construir las figuras, por supuesto.
Algunos teoremas.Los Pitagóricos demostraban sus teoremas con las mismas piedras que usaban para
representar los números, así que eran demostraciones “que se veían”.
Por ejemplo:

a) El doble de un número triangular
es unnúmero oblongo.

b) Todo número cuadrado es igual
a la suma de dos números triangulares
consecutivos.

c) Ocho veces un número triangular,
más una unidad, es igual a un
número cuadrado.

7

José María Sorando Muzás

Teoría de Números

Ejercicio 4.- Ahora, de una forma similar, intenta demostrar gráficamente que cualquier
número triangular de un orden n es igual a la suma del...