Tarea

Integración por partes

La integración por partes (I.P.P. en abreviado) es un método para calcular una integral de una función cuyas primitivas se desconocen, y consiste en utilizar el teoremasiguiente:
Sean u y v dos funciones reales de clase C1 (es decir derivable y de derivada continua) definidas sobre el intervalo [a;b].
Entonces se da la relación:

donde el corchete es una escrituraabrevada de una diferencia:

, con f una función definida sobre [a;b].
Se puede suponer condiciones menos restrictivas sobre u y v para aplicar esta fórmula: que sean derivables y que susderivadas sean integrables.
La prueba del teorema es como sigue:

luego integrando ambos miembros (que se pueden integrar según las condiciones del teorema) entre a y b:

Luego, recordando que unafunción - aquí uv - es una primitiva de su derivada, y aplicando la linealidad de la integral al miembro de la derecha, se obtiene:

lo que da la fórmula del teorema.
Ejemplos: Las dos integralessiguientes son a menudo las primeras que se proponen en todo curso sobre la I.P.P. pues son las más sencillas que no se saben integrar buscando primitivas.
* Sea la integral

: La función u(t) = ttiene como derivada u'(t) = 1, y la función v(t) = et es su propia derivada: v'(t) = v(t). Luego el teorema da: .
* Sea . Aquí no aparece ningún producto en la integral. El truco es introducir elfactor 1: , luego, con

se obtiene:

. Considerando x como una variable, J es una función de x, concretamente la primitiva de ln que se anula en x = 1. Esta I.P.P. permite hallar una primitivasencilla de ln: x → x·ln x - x (se quita la constante, inútil).

I.P.P. con integrales impropias
La integración por partes también se aplica en en caso de las integrales impropias con tal queestas últimas converjan. Esto se debe a que una integral impropia es un límite de integrales definidas y que toda igualdad, como lo es la fórmula de la I.P.P. pasa al límite. Si la singularidad se sitúa...