Tarea

LEY DE HOOKE
Objetivo General
Analizar, con base a evidencias experimentales, la dinámica de un sistema masa-resorte dentro del contexto de la Ley de Hooke.
Objetivos Específicos
* Determinar analítica y gráficamente el estiramiento por unidad de masa del resorte.
* Determinar, basándose en la ecuación teórica del período del sistema masa-resorte, la aceleración de gravedad.* Obtener, a partir de la gráfica T2(período al cuadrado) vs. M(masa), la masa efectiva del resorte (m).
* Determinar analítica y gráficamente la constante elástica (K) del resorte.
Resumen Teórico
Ley de Hooke
Cuando se suspende una masa (M) de un resorte, se encuentra que la deformación que éste experimenta es proporcional al peso de la masa suspendida (Ley de Hooke). En la Figura 1se muestra inicialmente un sistema masa-resorte en equilibrio; posteriormente al aplicársele una fuerza F la masa cambió de posición debido al estiramiento del resorte, hasta quedar nuevamente en equilibrio a una distancia “y” de la posición inicial. Para esa condición se cumplirá, con base a lo expresado inicialmente, que la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa (Fuerza Restauradora)viene dada por:
F=-ky (Expresión de la Ley de Hooke) (1)
Donde “y” es la deformación del resorte medida a partir de la posición de equilibrio del sistema, mientras que “k” recibe el nombre de constante de fuerza del resorte. Por su parte, el signo menos (-) indica que la fuerza restauradora del resorte tiene dirección opuesta al desplazamiento o deformación experimentada por el mismo. Ha deresaltarse que la expresión (1) es válida solamente cuando la fuerza externa no exceda el Límite Elástico del resorte.

Figura 1. Modelo ilustrativo de la Ley de Hooke.
Movimiento Armónico Simple
Si desplazamos el sistema masa-resorte en una pequeña cantidad respecto de la posición de equilibrio y lo dejamos oscilar, se puede notar que la única fuerza que actuará es la derivada de la acciónrestauradora del resorte, de allí que por la Segunda ley de Newton se obtendrá que:
F=Ma≻Ma=-ky ∴Md2ydt2+ky=0⇒d2ydt2+kMy=0 (2)
Se puede demostrar que la solución de la ecuación diferencial mostrada en (2), viene dada por:
yt=Acos(ωt+δ)(3) y ω=kM
Siendo “A” la amplitud de la oscilación, “” la frecuencia angular y “” la fase del movimiento, o ángulo para t = 0.
Ahora bien, si se llama “n” ala extensión del resorte por unidad de masa, se puede observar lo siguiente:
n=yM⇒y=nM (4)
La expresión (4) representa la ecuación de una recta que pasa por el origen, cuya pendiente es “n”, la variable dependiente es “y” y la independiente es “M”. La gráfica de dicha función se muestra en la Figura 2.

Figura 2. Modelo para la determinación de “n” en forma gráfica
Si en la Ecuación (1),consideramos que F es el peso, y si operamos con su módulo o magnitud, tendremos que:
Mg=ky ∴k=Mgy=gn (5)
Por lo tanto, la última expresión de (2) toma la forma: d2ydt2+gnMy=0 (6)
La solución de la ecuación (6) tiene la forma (3) y la frecuencia angular tiene la forma: ω=gnM (7)
Se sabe además que el período (T) de un Movimiento Armónico Simple viene dado por: T=2πω (8); de modo que alsustituir en dicha expresión el correspondiente valor de ω de la ecuación (7), obtenemos que:
T=2πnMg (9)
Ahora bien, el análisis anterior supone que la masa del resorte es despreciable frente a la masa suspendida de éste. Si hacemos una consideración exhaustiva de la situación debería tenerse en cuenta también la masa efectiva del resorte (m), por lo que la ecuación (9) quedaría expresada de lasiguiente manera:
T=2πnMg=2π(M+m)ng (10), donde “m” es la masa efectiva del resorte
Elevando al cuadrado la ecuación 10, resulta:
T2=4π2ngM+ 4π2nmg (11)
Si se grafica, T2 en función de la masa M (Figura 3) se obtendrá una línea recta. A partir de este gráfico es posible determinar la aceleración de gravedad g y la masa efectiva del resorte “m”.

Figura 3. Modelo Gráfico de T2 vs. M...