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INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas, además nos facilita al calculo de funciones racionales en el cual se nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.

o
(En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo).Para evaluar la integral trigonometrica ∫sen n x∗cos m xdx 
En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad permite convertir de una parte a otra entrepotencias pares de seno y coseno.
Tendremos 3 casos:
1. Cuando n es impar
Cuando en la integral trigonemetrica ∫sen n x∗cos m xdx  , podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:





Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo , . Como en la expresion notenemos un multiplicamos ambos lados por y nos queda la expresión que ya podemos sustituir:

2. Cuando m es impar
Cuando en la integral trigonemetrica ∫sen n x∗cos m xdx  , podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear para poder expresar los factores restantes en términos del :




al hacer y tendríamos

3. Cuando m y n son pares
Cuando laspotencias de la integral trigonemtrica ∫sen n x∗cos m xdx  son pares a la vez y , podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo -y- algunas veces nos sera útil utilizar la identidad


seria igual a:

Para evaluar ∫sec n x∗tan m xdx 
Se puede usar una estrategia similar a la anterior.
Puesto que:
, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) dela secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad .
O bien, puesto que:
, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
Tendremos 5 casos:
1. Cuando n es par
separar un factor de y utilice para lograr expresar los factores restantes en términos de :




de esta manera podemos hacer y y elintegral quedaría así:

2. Cuando m es impar
apartar un factor de y emplear para poder expresar los factores que restan en términos de :



de esta manera podemos hacer y y nos queda

3. ∫tan 2k xdx 



4. ∫sec 2k+1 xdx 
Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se muestra en el ejemplo 8.

5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a y recordando que:
y



Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.
A veces será necesario poder integrar por medio de la fórmula establecida:

Se necesitará también la integral indefinidade la secante:

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:
Primero se mutiplican numerador y denominador por  :

Si se sustituye , después , también, la integral se convierte en:

Así, se tiene:

NOTA Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad:IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES QUE LES SERVIRA DE MUCHA AYUDA
Identidades recíprocas

Identidades pitagóricas

Identidades de paridad

Ejemplos
Ejemplo #1
Evaluar

Solución La simple sustitución no va a servir pues .
Para integrar potencias del coseno necesitaríamos un factor sen x extra. También una potencia del seno necesitaría un factor de más. De modo que se puede...