tecnica en explotaciones agropecuarias


4.1 Longitud de curvas.


Vamos a calcular la longitud de una curva en un intervalo cuya derivada sea contínua en en ; a esta porción de gráfica sele llama arco .
Para aproximar la longitud del arco s se va a usar ahora segmentos de recta que apromimen la longitud en cada intervalo.
Se hace una partición( puede ser regular) del intervalo ; para P y para P de manera que el segmento P P tiene longitud calculada por el teorema de Pítagoras

Si se sumala longitud de cada segmento, P P P P ,... , P P se obtiene una aproximación a la longitud total s .

Para poder ahora tomar el límite de la suma cuando lanorma de la partición , utilizaremos que la función es derivable y contínua en (condición que se puso para que fuera un arco) y por lo tanto lo es en cadasubintervalo por lo que satisface el teorema del valor medio.
Luego existe tal que remplazando
s . Si
s
Ejemplo 1:Encontrar la longitud del segmento deparábola en el intervalo
s . Resolviendo ahora con


s ( unidades lineales)
Ejemplo 2 : Encontrar la longitud de la curva
Como y no escontínua en el intervalo propuesto, podemos utilizar el hecho de que la longitud de la curva será la misma para ( es prácticamente utilizar la inversa) y ahoracon lo cual s que es la calculada en el ejemplo1.
Ejemplo 3: Calcular la longitud de la curva para
Pero no se puede encontrar antiderivada de por lotanto se puede
aproximar con algún método numérico como Regla de Simpson con , o (ejercicio)
Si llamamos s(x) la función longitud de arco para una arco