Tecnicas De Cancelacion y Racionalizacion

Técnicas de cancelación y de racionalización.
Técnica de cancelación.
Encontrar el límite: limx→-3x²+x-6x+3
Aunque se trata del límite de una función racional, no se puede aplicar el teorema debido a que el límite del denominador es 0.
limx→-3x²+x-6x+3= (-32)+3-6-3+3=00
Sacamos factor común del denominador y numerador que seria: (x+3)
F(x)= x²+x-6x+3= x+3(x-2)x+3= x-2
Aplicando limite:limx→-3=x-2= -5.
La sustitución directa en este caso produce la forma fraccionaria 0/0, que carece de significado, denominada forma indeterminada porque no es posible determinar el límite. Si al intentar evaluar un límite se llega a esta forma debe reescribirse la fracción de modo que el nuevo denominador no tenga 0 como límite.
Técnica de racionalización.
Encontrar el límite: limx→0x+1-1xUtilizando la sustitución directa, se obtiene la forma indeterminada.
limx→0x+1-1x =0+1-10= 00
En este caso se puede reescribir la fracción racionalizando el denominador:
x+1-1x=( x+1-1x)(x+1+1x+1+1)= x+1-1xx+1+1= xxx+1+1= 1x+1+1, x≠0
Aplicando límite:
limx→0x+1-1x= limx→01x+1+1 = 11+1 =12

Teorema del encaje o teorema del emparedado.
Sea I un intervalo que contiene al punto a y seanf, g y h funciones definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que para todo x en I diferente de a tenemos:

y supongamos también que:

Entonces, .
Un limite en el que interviene una función trigonométrica.
Encontrar el limite: limx→0tanxx

La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada.
limx→0tanxx = lim⁡(x→0sinxx)(1cosx).
Ahora puesto quelim⁡(x→0sinxx)=1 y limx→0 1cosx=1
Se puede obtener.
limx→0tanxx= (lim⁡(x→0sinxx)) (limx→01cosx)= (1)(1)= 1

Continuidad y límites laterales o unilaterales.
Continuidad en un punto y en un intervalo abierto.
Decir que una función es continua en x=c significa que no hay interrupción de la gráfica de f en c. Es decir, la gráfica no tiene saltos o huecos en c.

Parece que lacontinuidad en x=c puede destruirse mediante cualquiera de las siguientes condiciones.
1. La función no esta definida en x=c
2. No existe el límite de f(x) en x=c
3. El límite de f(x) en x=c existe, pero no es igual a f(c).
Si no se da ninguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la función f es continua en c, como lo señala la importante definición que sigue.
Definición decontinuidad.
Continuidad en un punto: una función f es continua en c si se satisfacen las tres condiciones siguientes:
1. f(c) esta definida.
2. limx→cf(x) existe.
3. limx→cf(x)= f(c).
Continuidad en un intervalo abierto: una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros(-∞, ∞) es continua en todas partes.
Limites laterales y continuidad en un intervalo cerrado.
Para comprender la noción de continuidad en un intervalo cerrado, es necesario estudiar antes un tipo diferente de límite, llamado limite lateral. Por ejemplo, el límite por la dercha significa que x se aproxima a C por valores superiores a C. este limite se denota:
limx→c+fx=L.
Del mismo modo, el limitepor la izquierda significa que x se aproxima a C por valores inferiores a C.
limx→c-fx=L.
Los límites laterales son útiles al calcular límites de funciones que contienen raíces. Por ejemplo, si n es un entero dado
limx→0+nx=0.
El concepto de límite lateral permite extender la definición de continuidad a los intervalos cerrados. Básicamente, se dice que una función es continua en un intervalocerrado si es continua en el interior del intervalo y posee continuidad lateral en los extremos. Esto se enuncia de manera formal:
Una función f es continua en un intervalo cerrado a,b si es continua en el intervalo abierto (a,b) y
limx→a+fx=f(a) y limx→b-fx=f(b).
La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en...