Tecnico Superior Universitario

Definición de Ecuación Diferencial
Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se denomina Ecuación Diferencial.

Una ecuación diferencial se denomina elementalmente integrable, si puede obtenerse su solución general mediante una sucesión finita de operaciones (incluyendo integraciones) con funciones elementales.Ejemplo:

Y-2xy=0 donde y-f (x)

QUE SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por elcontrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.

Grado de una ecuación diferencial
El grado de una Ecuación diferencial está dado por el exponente entero positivo de la más alta derivada presente en la ecuación.

Ejemplo:

Y+5(y)3-4y=x

Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.Una ecuación deprimer grado tiene la forma canónica

Ecuaciones Separables
Son Ecuaciones Diferenciales, lineales o no lineales, que se pueden expresar de la forma

M (x)dx + N (y)dy = 0

el método de solución será integrando, ambos miembros.

ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Si una Ecuación Diferencial puede ser expresada de la forma
Y= f(y/x) se la denomina Ecuación Diferencial Homogénea

Para encontrar susolución se realiza el cambio de variable

y
V =___ para convertirla en una ecuación donde se pueda separar sus . x variables

dy
Para obtener ----- se hace lo siguiente Despejando y tenemos: y= vx
dx

Derivando con respecto a x se obtiene dy dv___ = ___ x + (1) v
dx dx
dv
y= x ___ + v
dx

ECUACIONES EXACTAS

cf cf
Sea la función z=f ( y x) Su diferencial total es df= __ dx + __ dy
cx cy

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variableindependiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:



o en su forma implícita:



Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones de variables separables

Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:



se dirá que es una ecuación diferencial devariables separables.

ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos.
Por ejemplo:




Ecuaciones lineales de primer orden

La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:




Ecuaciones de primer grado por variables separables

Sedice que una ecuación diferencial se puede separar si es posible escribir la ecuación en la forma
El factor integrante , es decir, si multiplicamos esta expresión por esta

cantidad tendremos

lo cual resulta fácil de integrar siendo una función de la variable x y una función de y, sin embargo, para la obtención de la solución es importante considerar si lasfunciones son integrables.


Ejemplo de variables separables

1.- Encontremos la solución de la ecuación diferencial


Solución:

despejando tenemos:


integrando



despejando




ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas ecuaciones diferenciales que se pueden escribir como una función exclusiva de y/x:...