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P RIMER PARCIAL DE F ÍSICA 4 - R ESUELTO
T ERMODINÁMICA - 11/05/2013

1. Una máquina térmica utiliza una banda elástica cuya ecuación de estado es J = αLT , con J la
tensión, L la longitud, α una constante y T la temperatura absoluta. El calor específico es una
constante, cL = c.

a) Obtenga la expresión de la energía interna y el calor intercambiado en cada proceso.
b) Calcule laeficiencia de la máquina η =
intercambiado en proceso isotérmico.

W
QT ,

donde W es el trabajo total del ciclo y QT el calor

Solución ítem a) Para encontrar la energía interna vamos a integrar sus derivadas respecto de T y
L. La primer derivada es trivial
∂U
= cL = c.
(1)
∂T L
Para la segunda, usaremos la relación que aprendimos para los sistemas pV T tomando las
derivadas cruzadas de laentropía:
∂U
∂V

=T
T

∂p
∂T

−p
V

haciendo los reemplazos V → L y p → −J. Así obtenemos
∂U
∂L

= −T
T

∂J
∂T

+ J = −T αL + J = 0

(2)

L

De (1) y (2) deducimos que U = cT +U0 , con U0 una constante.
Para obtener los calores intercambiados en cada proceso utilizaremos la primera ley dU =
dQ + JdL.
ab: Isotérma, dQ = −JdL.
Qab = −

L0

αT LdL =
2L0

1

J0L0

2L0
L0

3
LdL = J0 L0
2

(3)

bc: Tensión constante, J = J0 .
Qbc = c (Tc − Tb ) −

2L0
L0

J0 dL = c

J0
J0
−
2αL0 αL0

ca: Isocórico, L = L0 .
Qca = c (Ta − Tc ) =

− J0 L0 = −

J0 c
2αL0

De (3), (4) y (5) podemos verificar que ∆UTotal = 0 y WTotal =

J0 c
− J0 L0
2αL0

(4)

(5)
J0 L0
2 .

Solución ítem b) Simplemente aplicamos la definición:
η=1
W
J0 L0 2
=
=
Qab
2 3J0 L0 3

2

(6)

2. Un litro de agua líquida es comprimida isotérmicamente a 293 K desde 1 atm hasta 20 atm. Recuerde
que para líquidos el cambio de volumen es despreciable (∆V
V ). Suponga además que la com1 ∂V
1
presibilidad isotérmica del agua κT = − V ∂ p y el coeficiente de expansión térmica α = V ∂V
∂T
T

p

se mantienen constantes durante elproceso.
a) ¿Cuánto trabajo es requerido?
b) ¿Cuánto vale el calor intercambiado?
Datos κT = 0,5 × 10−4 atm−1 ; α = 2 × 10−4 K−1 .
Solución ítem a) Para calcular el trabajo hecho sobre el sistema utilizaremos la definición W =
f
− i pdV . Dado que el proceso es isotérmico, podemos escribir el diferencial de volumen
dV =

∂V
∂T

dT +
p

∂V
∂p

dp ≡
T

∂V
∂p

dp.
T

Asíobtenemos
20atm

WT = −

p
1atm

∂V
∂p

20atm

dp =
1atm

T

pV κT dp ∼ V κT
=

20atm

pdp ∼ 10−2 atm
=

(7)

1atm

Solución_ítem_b) Tomaremos un proceso reversible, dQ = T dS. Teniendo en cuenta que el proceso
es isotérmico, escribiremos el diferencial de entropía como
T dS = T

∂S
∂T

dT + T
p

∂S
∂p

dp ≡ T
T

∂S
∂p

dp = −T
T

∂V
∂T

dp = −TVαdp.
p

Así podemos calcular el calor intercambiado como
20atm

Q = −T α

V dp ∼ −T αV
=

1atm

20atm
1atm

3

dp ∼ −1,1134 atm
=

(8)

3. Un vapor que puede condensarse tiene una entropía molar dada por la expresión s(u, v) = s0 +
5/2
R ln C (v − b) u + a
donde C, a, b y s0 son constantes, u es la energía interna molar y v el
v
volumen molar.
a) Encuentre u(T, v).
b)Halle la ecuación de estado.
c) Calcule c p y cv . Ayuda: c p − cv = −T

2
∂p
∂T v
∂p
∂v T

.

d) Calcule el calor latente L entre las fases líquido y vapor a temperatura T en función de la
temperatura T , la constante de los gases R y los volúmenes molares v y vg .
Solución ítem a) De combinar la primer y Segunda Ley tenemos T ds = du + pdv. De allí es inmediato
1
∂s
p
∂s
= y= .
∂u v T
∂v u T
Utilizaremos la primer relación en este ítem y la segunda en el siguiente. Así
5
a
1
= R u+
T
2
v

−1

5
a
⇒ u = RT −
2
v

(9)

Solución ítem b) De lo deducido anteriormente:
1
5
a
p
=R
−
u+
T
v−b 2
v

−1

a
a
RT
− 2
⇒ p=
v2
v−b v

(10)

donde usamos la primer ecuación de (9) para introducir T −1 en el segundo término.
Solución...