Tema 1 Matematicas

MATEMATIQUES I (AE1005, EC1005, FC1005)
PROBLEMES TEMA 1 Funcions d’una variable
1. El cost de producci´ de x unitats d’un b´ de consum ve donat per la funci´ o e o C(x) = 2x2 + 200x + 1200 (a) Calcula C(0), C(150) i C(151) − C(150). (b) Calcula C(x + 1) − C(x) i explica el significat d’aquesta difer`ncia. e 2. H. Schultz va estimar que la demanda de cot´ en els Estats Units en el o periode1915-1919 va ser de D(P ) = 6.4 − 0.3P (amb unitats apropiades per al preu P i la quantitat D(P )). (a) Troba la demanda si el preu ´s de 8, 10 i 10.22. e (b) Si la demanda ´s 3.13, quin ´s el preu? e e 3. Per a la funci´ f (u) = 2u2 + 3u − 5, calcula f (0), f (1/x), f (x + h) i o f (x + h) − f (x) . h 4. Si F (t) = t t i G(t) = , prova que F (t) − G(t) = −2G(t2 ). 1+t 1−t

5. Calcula el domini deles funcions seg¨ents: u (a) f (x) = (b) (c) (d) (e) (f) 2x 3x − 5 x2 − 1 f (x) = 2 x − 3x + 2 x2 − 4 f (x) = 4 x − 6x3 + 11x2 − 6x √ f (x) = 3x + 5 √ f (x) = x2 + x − 2 √ f (x) = 4 4 − x2 x−2 x2 − 1

(g) f (x) =

1

6. Usant les regles del despla¸ament de gr`fiques, dibuixa les gr`fiques de les c a a funcions: a) f (x) = x2 + 1 b) g(x) = (x + 3)2 2 c) h(x) = 3 − (x + 1) d) k(x) = 2 − (x +2)−1 7. Troba el pendent de les rectes que passen pels parells de punts seg¨ents: u a) (1, 2) i (4, 7) b) (−1, −2) i (3, −5) c) (1, 2) i (3, −7) 3 3 2 5

8. Dibuixa les gr`fiques de les funcions seg¨ents: a u a) 9. (a) Determina la relaci´ entre les escales de temperatures cent´ o ıgrada i Fahrenheit sabent que i. La relaci´ ´s lineal. oe ii. L’aigua es congela a 0o C i 32o F . iii. L’aigua bull a100o C i 212o F . (b) Quina temperatura ve representada pel mateix n´mero en ambdues u escales? 10. Troba les equacions i representa gr`ficament les rectes seg¨ents: a u (a) Passa per (2, 5) i t´ pendent 2. e (b) Passa per (−1, 1) i (2, 2). (c) Passa per l’origen i t´ pendent −1/3. e 11. Models lineals. Les relacions lineals apareixen freq¨entment en models u aplicats. La majoria dels models linealsen economia s´n aproximacions o de models m´s complexos. Considerem un intent molt ingenu de construir e un model lineal basat en algunes dades. En un informe de l’ONU, la poblaci´ europea en 1960 s’estimava en 641 o milions de persones i en 1970 en 705 milions. Usa aquestes estimacions per a construir una funci´ lineal (f (t) = a + bt) que aproxime la poblaci´ o o d’Europa (en milions), on t ´s elnombre d’anys transcorreguts des de e 1960. Usa aquesta equaci´ per estimar la poblaci´ en 1975 i en l’any 2000. o o Com s’estimaria la poblaci´ en 1930 sobre la base d’aquesta relaci´ lineal? o o Les estimacions de l’ONU per as anys 1930, 1975 i 2000 varen ser 573 milions, 728 milions i 854 milions. Compara aquestes dades amb els resultats obtinguts mitjan¸ant la funci´ lineal. c o 2x + 3y = 6b) x y − = 1 c) y = 2 6 3

2

12. En el camp econ`mic apareixen exemples de funcions lineals com les de la o planificaci´ de l’oferta i la demanda: o D S = = a − bP k + lP

on a i b s´n par`metres positius de la funci´ de demanda D i k i l (ambd´s o a o o positius) s´n par`metres de la funci´ d’oferta. Ambdues funcions s´n o a o o depenents del preu P i desempenyen un paper important eneconomia quantitativa. Al valor P e que iguala la demanda i l’oferta se l’anomena preu d’equilibri. Calcula el preu d’equilibri en els casos seg¨ents: u (a) D = 25 − P i S = 10 + P . (b) D = 100 − 0.5P i S = 10 + 0.5P . 13. Resol els sistemes seg¨ents, fent posteriorment una representaci´ gr`fica: u o a a) 3x + 5 = 2y + 1 x−9 = 1 − 5y  x y    3−2 = 4  x y   − 2 4 = 2 b) 3x + 2y 6x + 1 = y−5 = 2y− 3

c)

d)

2x + 3y 4x + y

= =

19 23

14. Representa gr`ficament les seg¨ents funcions quadr`tiques indicant el seu a u a m`xim o m´ a ınim: (a) y = x2 − 4x (b) y = x2 + x + 1 (c) y = −3x2 + 2x + 1 15. Troba l’equaci´ de la par`bola y = ax2 + bx + c que passa pels punts o a (1, −3), (0, −6) i (3, 15). 16. Una empresa t´ uns costos fixos mensuals de 2000 euros i un cost variable e...