Tema 10 An lisis de Estabilidad en el Dominio de la Frecuencia

Análisis de Estabilidad en el
Dominio de la Frecuencia
Ingeniería de Sistemas I

Índice
TEMA – Análisis de Estabilidad en el Dominio de la Frecuencia
1. – Estabilidad absoluta
1.1 – Principio de Argumento
1.2 – Trayectorias de Nyquist
1.3 – Criterio de Nyquist
2. – Estabilidad relativa
2.1 – Margen de ganancia
2.2 – Margen de fase

Estabilidad en el Dominio de la Frecuencia
Ventajas respecto delCriterio de Routh-Hurwitz
¾ Además de la estabilidad absoluta informa sobre la estabilidad relativa, del grado de
inestabilidad, y forma de mejora del sistema.
¾ Informa de la forma de la respuesta en frecuencia del sistema.
¾ No se limita a funciones de transferencia racionales.
¾ No necesita modelo matemático.

Problemática de la Estabilidad
R(s )

Y (s )

G (s )

M (s ) =

Y (s )
G (s )
=
R (s) 1 + G (s )H (s )
m

H (s )

F (s ) = 1 +

K ⋅ ∏ (s + zi )
n

n

mi

i =1

∏ (s + pk )

F (s ) = 1 + G (s )H (s )

=

∏ (s + pk )

nk

k =1

m

+ K ⋅ ∏ (s + zi )

mi

i =1

n

∏ (s + pk )

nk

k =1

nk

k =1

¾ Los polos de F(s) son los mismos que los de la función de transferencia en lazo abierto.
¾ Los ceros de F(s) son los polos de la función de transferencia en lazo cerrado.

Estabilidad enel Dominio de la Frecuencia
Principio de Argumento
Sea F(s) una función univaluada que tiene un número finito de polos y de ceros en el plano
s. Si se supone una trayectoria continua y cerrada Γs, que no atraviese ninguno de los polos
y ceros de F(s), el lugar geométrico correspondiente a ΓF sobre el plano F(s) consistirá en
una trayectoria cerrada y continua que encerrará al origen tantas vecescomo la diferencia
entre el número de ceros y polos de F(s) que están rodeados por la trayectoria en el plano s
Img

s1 Plano s
s2

Img

F (s3 )

F (s ) = 1 + G (s )H (s )

s3

Plano F(s)

real

real

F (s 2 )

Γs

N =Z −P

F (s1 )

¾ N: Número de veces que la trayectoria ΓF rodea al origen del plano F(s).
¾ Z: Número de ceros de F(s) encerrados por la trayectoria Γs en el plano F(s).
¾ P: Númerode polos de F(s) encerrados por la trayectoria Γs en el plano F(s).

ΓF

Estabilidad en el Dominio de la Frecuencia
Trayectorias de Nyquist
Nyquist descubrió que el principio del argumento se puede aplicar para resolver el problema
de estabilidad si la trayectoria Γs en el plano s se elige de tal forma que encierre de forma
completa el semiplano derecho del plano s.
Img

Plano s

∞

Img

∞

Planos

Polo de
F(s)
0

real

∞

Plano s

Polos de
F(s)

0

real

Γs

-∞

Img

0

real

Γs

Γs

-∞

-∞

La trayectoria Γs en el plano s no debe atravesar ningún polo ni ningún cero de F(s) y ,por
tanto, los polos y ceros sobre el eje imaginario se rodean.

Estabilidad en el Dominio de la Frecuencia
Criterio de Nyquist
Es la aplicación directa del principio del argumento cuando la trayectoria querecorre la
función F(s) en el plano s es la trayectoria de Nyquist.
F (s ) = 1 + G (s )H (s ) ⎫
⎬ Z =0
N =Z −P
⎭
N = −P

¾ N: Número de veces que la trayectoria 1+G(s)H(s) rodea al
origen cuando s recorre la trayectoria de Nyquist.
¾ Z: Número de ceros con parte real positiva de 1+G(s)H(s).
¾ P: Número de polos con parte real positiva de 1+G(s)H(s).

¾ P=0: Sistema en lazo abierto estable Ö N=0 Sistemaen lazo cerrado estable.
¾ P≠0: Sistema en lazo abierto inestable Ö N=-P Sistema en lazo cerrado estable.
Modificaciones
¾ Desplazamiento del Origen (-1+j0):

Img

Para que el sistema en lazo
cerrado sea estable, el lugar de Nyquist del sistema en lazo abierto debe
rodear el punto -1 tantas veces como polos del sistema en lazo abierto tenga
en la parte real positiva, en sentido contrario al latrayectoria de Nyquist.

¾ Aportación de la ganancia K:

Para que el sistema en lazo cerrado
sea estable, donde el sistema en lazo abierto tiene una ganancia K, el lugar
de Nyquist del sistema en lazo abierto formalizado respecto de K, debe
rodear el punto -1/K tantas veces como polos del sistema en lazo abierto
tenga en la parte real positiva, en sentido contrario a la trayectoria de
Nyquist.

F...