Tema_2_AlgebraLinealEspaciosVectoriales

Tema 2

Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

Espacios Vectoriales
Vector: Magnitud, dirección y sentido

ω = α u + β ν → Combinación lineal
u, v, ω → Vectores

α, β → Escalares
αu → Multiplicación por un escalar
αu + βv → Suma de vectores
1 de 1

Tema 2

Sea

Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

R2 = {(x1, y1 ) x1, y1 ∈R}

u = (x1, y 1 ) ∈ R 2

v = (x 2 , y 2 ) ∈ R 2
ω = αu + βv

= α(x 1, y1 ) + β(x 2 , y2 )

= (αx 1, αy 1 ) + (βx 2 , βy 2 )

= (αx 1 + βx 2 , αy 1 + βy 2 ) ∈ R 2
Sea

a1 b1 

M = 
 a1, b1, c 1, d1 ∈ R
c
d
 1 1 


a b 
u =  1 1 ∈ M
c 1 d1 

a
v= 2
c 2

b2 
∈M
d2 

α, β ∈ R

ϖ = αu + βv

a1 b1
a 2 b 2 
β
= α
+

 c2 d 2 
 c1 d1



αa1 αb1 βa2 βb2 
+
=


 αc1 αd1 βc2 βd2 
αa1 + βa2 αb1 + βb2
 αc1 + βc2 αd1 + βd2 ∈ M


2 de 2

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Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

Las leyes de adición y multiplicación por un escalar tienen en común un gran número de
propiedades algebraicas. A dicha estructura se le conoce como “ESPACIO VECTORIAL”

Definición:
Sea V un conjunto no vacío y sea K un campo donde se definen las operaciones de suma
(+) y multiplicación por un escalar ( .)

K puede ser:

R → reales
C →complejos
N → naturales
Q → racionales o
z → enteros
V es un espacio vectorial (EV) si cumple con las siguientes axiomas:
1.

La suma de dos elementos en V es cerrada

3 de 3

Tema 2

Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

∀ u, v ∈ V : u + v ∈ V y u + v es única
2.

La adición es conmutativa

∀ u, v ∈ V : u + v = v + u
3.

La adición es asociativa

∀ u, v, w ∈ V : (u + v ) + w = u + (v + w )
4.

Existeen V un elemento neutro para la adición

∃e∈V : e + u = u = u + e
5.

Todo elemento de V tiene un inverso

z

∀ v∈V ∃z∈V : v + z = e = z + v
6.

La multiplicación de un vector de V por un escalar es cerrado

∀ v ∈ V y ∀ α ∈ K : αv ∈ V
7.

La multiplicación por un escalar es asociativa

∀ v ∈ V y α, β ∈ K : α (β v ) = (αβ )v
8.

Distributividad de la multiplicación sobre la adición de escalares

∀v ∈ V y α, β ∈ K : (α + β )v = α v + β v
9.

Distributividad de la multiplicación sobre la adición de vectores

∀ u, v ∈ V y α ∈ K : α (u + v ) = αu + α v
10. Existencia de la unidad de K
4 de 4

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Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

∀ v ∈ V : 1v = v
Las condiciones de suma o multiplicación por un escalar pueden ser la usual o
proponerse.
Ejemplo:
Sea el conjunto

A = {(1, a ) a ∈ R}definido sobre R y las condiciones de suma y

multiplicación definidas por

(1, a ) + (1, b ) = (1, a + b)
α(1, a ) = (1, αa)

∀ u = (1, a ) ∈ A
∀ u = (1, b ) ∈ A
∀ u = (1, a ) ∈ A
∀ α∈R

Verifique si A es un Espacio Vectorial
Sean u = (1, a ); v = (1, b); w = (1, c) ∈ A y α, β, y γ ∈ R
1) Verificar si

∀ u, v ∈ A : u + v ∈ V y u + v es única

u + v = (1, a) + (1, b)
= (1, a + b) ∈ A
2) Verificarsi

∴ Cumple el axioma

∀ u, v ∈ A : u + v = v + u

u+v =v+u
(1, a) + (1, b) = (1, b) + (1, a)
∴ Cumple el axioma
(1, a + b) = (1, b + a)
3) Verificar si ∀ u, v, w ∈ A : (u + v ) + w = u + (v + w )

(u + v ) + w = u + (v + w )
5 de 5

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Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

[(1, a) + (1, b)] + (1, c ) (1, a) + [(1, b) + (1, c )]
(1, a + b) + (1, c ) (1, a) + (1, b + c )
∴ Cumple el axioma(1, a + b + c ) = (1, a + b + c )
4) Verificar si

∃e∈A : e + u = u = u + e

e = (1, e)
(1, e) + (1, b) = (1, b)
(1, e + b) = (1, b)

Sea

∴ e+b =b→e =0
e = (1, 0 )

5) Verificar si

∴ Cumple el axioma

∀ v∈A ∃z∈A : v + z = e = z + v

z = (1, z)
(1, z ) + (1, b) = (1, 0)
(1, z + b ) = (1, 0)
z+b =0
z = −b

Sea

Tal que

z = (1, - b)

∴ ∃ z ∈ A : z = (1, - b)
6) Verificar si

∴ Cumple el axioma

∀ v∈ A y ∀ α ∈ R : αv ∈ A

∴ Cumple el axioma
α(1, a ) = (1, αa ) ∈ A
7) Verificar si ∀ v ∈ A y α, β ∈ R : α (β v ) = (αβ )v
α(βu)

(αβ )u
6 de 6

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Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

α[β(1, a )] =
α(1, βa ) =
(1, αβa)

(αβ)(1, a) =
(1, αβa)

∴ α(βu) = (αβ )u
8) Verificar si

∴ Cumple el axioma

∀ u ∈ A y α, β ∈ R : (α + β )u = αu + βu

(α + β )v
(α + β )(1, a)
(1, (α + β )a )
(1, αa +...