TEMA 2 DETERMINANTES

UNIVERSIDAD MAYOR REAL Y PONTIFICIA DE
SAN FRANCISCO XAVIER DE CHUQUISACA
FACULTAD DE TECNOLOGIA

TEMA 2: DETERMINANTES
MATERIA: ALGEBRA II
SEGUNDO SEMESTRE
Docente: ALBERTO AYAVIRI PANOZO

SUCRE – BOLIVIA

MATRICES Y OPERACIONES MATRICIALES

TEMA 1

TEMA 2
DETERMINANTES
2.1 DEFINICIÓN:
Sea la matriz cuadrada A = [aij] de orden n, llamaremos determinante de la matriz
A, al número real que estárelacionado con los elementos aij de la matriz. La notación | A|,
det(A) indican el determinante de la matriz cuadrada A.

Dicho número es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras.
Según el orden y tipos de determinantes estudiaremos ciertos métodos para hallar el
determinante.
El determinante es una función de Rnxn en R . tal que el determinante hace
corresponder a cada matriz Aun único número real que es el det(A).
1) Para n =1 , A = [a11] ; entonces det (A) = a11
2) Para n = 2, A = [

] ; entonces det(A) = a11a22-a21a12

3) Para n = 3;

entonces:

En general:

=>

Donde A(1/j) es submatriz de A eliminando la fila 1 y la j-esima columna
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ALBERTO AYAVIRI PANOZO
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2.2 CALCULO DE UN DETERMINANTE:
I) Método de Sarrus
Cuando el determinante es de orden dos o tres se usa la regla de Sarrus, que
consiste en sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar dos o tres elementos
de la matriz de todas las formas posibles, con la condición de que en cada producto exista
un elemento de cada fila y uno de cada columna, con sus signoscorrespondientes y para
ello se utiliza el esquema que sigue:
Para un determinante de orden 2:

Para un determinante de orden 3:

La regla nos recuerda el desarrollo:

II) Cálculo del determinante de orden n, por los adjuntos:
Cuando el orden de los determinantes es superior a 3 la regla de Sarrus no es
fácilmente aplicable y entonces utilizamos el método de los adjuntos, que reduce el orden
en una unidadcada vez que lo utilizamos.
Para ello vamos a definir dos nuevos conceptos:
Menor complementario: Dada una matriz An se llama menor complementario de un
elemento aij al determinante de la matriz, que resulta de suprimir la fila i y la columna j en
la matriz An: se llama m¡j
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Adjunto de un elemento: Al producto de (-1)i+j por el menor complementario m¡j de a¡j se
llama adjunto de un elemento a ij y se escribe Aij .

A partir de estas definiciones obtenemos otra forma de calcular un determinante: el valor
de un determinante de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos
de una fila o columna por sus respectivos adjuntos.

III)Método del pivote o de Chio
Si a los elementos de una fila o columna se suman los correspondientes de otras
paralelas multiplicados por un número, el valor del determinante no varía, (Suma de una
combinación lineal de otras filas o columnas)
Basándonos en esta propiedad, podemos obtener un determinante igual, pero con una fila
o columna todos nulos salvo uno, que al aplicar el método anterior, sereduce su cálculo a
un solo determinante de orden menor
Antes de desarrollar el método siguiente, vamos a comentar las propiedades más
singulares de los determinantes, para el cálculo del determinante:
Propiedades:
a) Si los elementos de una fila o columna son nulos el valor del determinante es nulo.
b) Un determinante con dos filas o columnas paralelas iguales es nulo.
c) Si un determinante tienedos filas o columnas proporcionales su valor es nulo.
d) Si cambiamos dos filas o columnas el determinante cambia de signo.
e) Para multiplicar un número por un determinante se multiplica el número por los
elementos de una fila o columna cualquiera.(En un determinante se puede sacar factor
común, siempre que exista un número que multiplique a todos los elementos de una fila o
columna)

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