tema 3

ECUACIONES DIFERENCIALES

Son las que incluyen derivadas y expresan índices de cambio de funciones continuas con el tiempo. El objetivo al trabajar con ecuaciones diferenciales es encontrar una función diferencial que satisfaga la ecuación diferencial. Esta función recibe el nombre de solución integral de la ecuación.

Los sistemas de ecuaciones diferenciales surgen por la necesidad deresolver distintos fenómenos descritos por dos o más ecuaciones y que deben satisfacerse simultáneamente.

Las ecuaciones diferenciales tienen una amplia aplicación en la Economía. Se utilizan para determinar las condiciones de estabilidad dinámica en modelos microeconómicos de equilibrios de mercado y para trazar la trayectoria de tiempo de crecimiento, en diversas condicionesmacroeconómicas. Dado el índice de crecimiento de una función, las ecuaciones diferenciales permiten encontrar la función cuyo crecimiento se describe; a partir de la elasticidad de un punto, permiten estimar la función de la demanda 1.
48. Se busca la función de demanda que tenga elasticidad-precio constante

Solución:



49. Identifique y solucione las siguientes ecuaciones diferenciales

a) b)

c)

d) 

e) 

f) 

g)

h) 

i) 

j)

Solución:


a) Exacta; el factor integrante es .

La solución resulta ser 

Con la condición inicial 


b) Variable separable; 
c) Lineal en t como función de y; 

d) Variable separable; 

e) Exacta; 

f) Lineal

g) Homogenea;


h) Lineal; 

i)Lineal; 

j) Homogénea 50. En que casos es  una ED exacta y cual es su
solución?

Solución:
Cuando b=c. La solución es entonces 
51. Sea C el costo total asociado a un nivel Q de producción; Suponga que el costo marginal es igual al costo promedio. Que se puede decir sobre la función costos?

Solución:

Los costos son directamente proporcionales a la cantidad Q.

52. Suponga que la población enel instante t es P(t). La diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad, llamada tasa de reproducción, sea r,(P,t). Si no hay migración ni emigración entonces el aumento de población por unidad de tiempo resulta ser 

La tasa de crecimiento instantáneo viene dada por lo tanto por 
(i) Suponga que r(P,t)=K const. Resuelva la ED y calcule en cuanto tiempo que se dobla lapoblación.

(ii) Suponga que r(P,t)=a-bP. Resuelva ahora la ecuación diferencial y calcule 

Solución:
(i) 
(ii) 

53. Una compañía fabrica un artículo de gran demanda. Se decide aumentar la
capacidad paulatinamente ya que se prevé que en 9 años la demanda será
doble.

Se compran 10 maquinas nuevas durante el primer año, 30 durante el segundo, 50 durante el tercer año, etc.Inicialmente se tiene 400 maquinas. A su vez la productividad del equipo decrece a una tasa del 5% anual(es decir salen 5 maquinas de la producción) Se trata de determinar el tiempo requerido para duplicar la capacidad fabricada si,

(i) Se supone que las maquinas se compran al final de cada año (Haga una tabla)

(ii) Se define C(t)= Capacidad en el tiempo t. Plantee y solucione una ED querelaciona el crecimiento instantáneo de la capacidad adicional con el crecimiento de la capacidad (tasa de cambio) y la depreciación (=0.05C). En que tiempo se duplica la capacidad? (SIN(13)).

Solución:

Año
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Maq. en prod
40
39
40
43
47
53
61
70
81
Maq. que no prod
2
2
2
3
3
3
4
4
5
Maq. nuevas
1
3
5
7
9
11
13
15
17
Maq. Fin año
39
40
4347
53
61
70
81
93

Capacidad adicional en el tiempo t:



Ecuación diferencial:





Se dobla aprox. t=7.73 años

54. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

(i) 3y’’’-19y’’+36y’-10y=0
(ii) y’’’+3y’-4y=0
(iii) y’’-3y’+2y=

Solución:

(i) 

(ii) 

(iii) 

55. El método de los “Coeficientes indeterminados” es una madera alterna-
tiva para...