Tema 4

Unidad 4. La Parábola
4.4. Parábola Horizontal y Vertical con Vértices en un Punto Cualquiera del plano

Parábola Horizontal cuyo vértice se encuentra fuera del origen

Consideremos ahora una Parábola Horizontal cuyo vértice se encuentra fuera del origen y abre hacia la derecha, sus parámetros estarán definidos por Vértice en las coordenadas V(h,k); foco en las coordenadas F(h+p,k) y la ecuaciónde la directriz comox=h-p.
Como en los análisis anteriores tomaremos un punto P(x,y) que se encuentra sobre la parábola y por lo tanto se cumple que la distancia del punto P  al foco es igual a la distancia del punto P  a la directriz, entonces podemos afirmar que:

La distancia del punto P al foco la determinamos como la distancia entre dos puntos sobre una recta por lo que tenemos

La distanciadel segmento  lo determinamos como la distancia de un punto a una recta mediante la expresión

Al sustituir los valores de la parábola tenemos:
 
Ahora igualamos los segmentos.


Elevando todo al cuadrado

Desarrollando cada miembro al cuadrado y simplificando obtenemos:

Imagen 113. Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre hacia la derecha

Imagen 114. Gráfica para la EcuaciónOrdinaria de la Parábola horizontal que abre hacia la derecha
Como hemos mencionado el signo de P nos indica el sentido que tendrá la parábola sobre el eje cartesiano, entonces la ecuación:


Imagen 115. Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre hacia la izquierda

Imagen 116. Gráfica para la Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre hacia la izquierda

Se deduce de formasimilar a la parábola Horizontal; y su ecuación es:


Imagen 117. Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia arriba


Imagen 118. Gráfica para la Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia arriba

Así mismo, la ecuación

Imagen 119.  Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia abajo
z
Imagen 120.  Gráfica para la Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical queabre hacia abajo


Parábola Vertical cuyo vértice se encuentra fuera del origen
Podemos resumir los casos de la parábola con vértice fuera del origen y directriz paralela a uno de los ejes cartesianos en la siguiente tabla.
Posición
Abre hacia
Ecuación
Horizontal fuera del origen
Derecha
(y-k)2 =4p(x-h)
Horizontal fuera del origen
Izquierda
(y-k)2 =-4p(x-h)
Vertical fuera del origen
Arriba(x-h)2 =4p(y-k)
Vertical fuera del origen
Abajo
(x-h)2 =-4p(y-k)
Tabla 2. Ecuaciones Ordinarias de la Parábola Horizontales y Verticales, con vértice fuera del origen
Da clic sobre el enlace y observa la demostración de la Ecuación de la Parábola con vértice fuera del origen:
video (25:50)
https://youtu.be/U1YZ7xEo734

Ejemplo 1
Luis observó el mismo cometa que se movía alrededor de la Tierra con unatrayectoria parabólica, él determinó que la ecuación que representaba la trayectoria del cometa era
(y-4)2 -16(x+3)=0

Imagen 121. Cometa

De acuerdo al plano cartesiano utilizado por Luis, determina las coordenadas del punto en el que se encuentra la Tierra, además de la directriz y el vértice.
Solución
El primer paso consiste en escribir la ecuación en forma ordinaria, entonces tenemosy2 -8y+16=16x+48
De donde podemos deducir que

De acuerdo a la forma de la ecuación se trata de una Parábola Horizontal que abre a la derecha y que tiene su vértice en V(-3,4), sus elementos son:

Vértice        V(-3,4)  
Foco           F(1,4)         
Directriz       X=-7 
Lado recto   LR=4P=16

Sabemos que la Tierra se encuentra en el Foco de la Parábola, por lo tanto, las coordenadas del punto en el quese encuentra la Tierra son (1,4)
En la siguiente gráfica se muestran los elementos de la parábola descrita por el movimiento del cometa desde el punto de observación de Luis.
En la siguiente gráfica se muestran los elementos de la parábola descrita por el movimiento del cometa desde el punto de observación de Luis.

Imagen 122. Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola con vértice fuera...