Tema1

Cap´ıtulo 1
SUCESIONES Y SERIES.
1.1.

Concepto de sucesi´
on.

Definici´
on.- Una sucesi´
on es una lista ordenada de n´
umeros reales.
Ejemplos:
a) 1, 4, 9, 16, 25, .......
b) 1, −2, 3, −4, 5, .......
Los n´
umeros que forman la sucesi´on se llaman t´
erminos de la sucesi´on.
Una sucesi´on puede ser:
-) Finita. Si tiene un n´
umero limitado de t´erminos.
-) Infinita. Si tiene un n´
umeroilimitado de t´erminos.
Generalmente, cuando decimos sucesi´
on nos referimos a una sucesi´on infinita.
Los t´erminos de una sucesi´on gen´erica se denotan por
a1 , a2 , a3 , ....., an , ......
La sucesi´on a1 , a2 , ....., an , ..... se expresa brevemente como {an }n∈N o simplemente {an }.
a1 es el primer t´ermino de la sucesi´on, a2 el segundo t´ermino, y, en general, an es el
t´ermino n-´esimo,tambi´en llamado t´
ermino general de la sucesi´on.
En la mayor´ıa de los casos, una sucesi´on se determina mediante una f´ormula para
obtener an a partir de n. Dicha f´ormula se conoce como f´
ormula del t´ermino general de
la sucesi´on.
Ejemplos de f´
ormula del t´
ermino general.
1. Consideremos la sucesi´on cuya f´ormula del t´ermino general es: an =
Sus primeros t´erminos son: a1 =

1
1
1
, a2 = ,a3 = , · · ·
3
5
7
1

1
.
2n + 1

CAP´ITULO 1. SUCESIONES Y SERIES.

2
La sucesi´on se expresa como:
1 1 1
, , , ···
3 5 7

Podr´ıamos obtener de manera inmediata cualquier t´ermino de la sucesi´on, como,
1
por ejemplo, a500 =
.
1001
2. La sucesi´on cuyo t´ermino general est´a dado como bn =
primeros t´erminos:
1+

1
1

1

b1 =

1+

1
2

2

b2 =

1
b3 = 1 +
3
Etc´etera.

3

1
1+
n

n

, tienecomo

= 2,
3
2

2

=

3

=

4
3

9
= ,
4
=

64
.
27

Podemos calcular cualquier t´ermino. Por ejemplo el t´ermino que ocupa el lugar
1000
1
1000 es b1000 = 1 +
, cuyo valor se puede obtener con calculadora y
1000
es b1000 = 2,7169239...
Ejercicio:
Para cada una de las siguientes sucesiones, la f´ormula del t´ermino general es una de
las que aparecen a la derecha, pero no necesariamente la que est´aen la misma fila.
Relacione correctamente cada sucesi´on con su correspondiente t´ermino general.
Sucesi´
on
1, 2, 3, 4, 5, .......
1, 4, 9, 16, 25, .......
−1, 1, −1, 1, −1, .......
1, −2, 3, −4, 5, .......

T´
ermino general
an = (−1)n
an = n
an = (−1)n+1 · n
a n = n2

NOTA: Lo habitual es que el primer t´ermino de la sucesi´on sea el a1 .
Pero no siempre ocurre as´ı.
Por ejemplo, para lasucesi´on de t´ermino general an = 1/(n − 2), el t´ermino a2 ser´ıa
a2 = 1/0, que no est´a definido. Lo razonable para esta sucesi´on es empezar en a3 . El
aspecto de la sucesi´on ser´a: a3 , a4 , a5 , · · ·.

´
1.2. PROGRESIONES ARITMETICAS

3

Otras veces interesa que el primer t´ermino sea a0 , con lo que la sucesi´on es: a0 , a1 , a2 , a3 , · · ·.
Ejemplo: La sucesi´on de t´ermino general an = 3n ,(para n = 0, 1, · · ·) es:
30 , 31 , 32 , 33 , 34 , · · ·, es decir, 1, 3, 9, 27, 81, · · ·

1.2.

Progresiones aritm´
eticas

1.2.1.

Concepto de progresi´
on aritm´
etica

Definici´
on. Una progresi´
on aritm´
etica (PA) es una sucesi´on en la que cada t´ermino
se obtiene sumando al t´ermino anterior una cantidad dada, llamada diferencia de la
PA y denotada por d.
Para tener una PA basta conocerel primer t´ermino, a1 , y la diferencia, d.
Por ejemplo, la PA cuyo primer t´ermino es a1 = 5 y cuya diferencia es d = 2 es:
5, 7, 9, 11, 13, · · ·.
d se llama diferencia de la PA porque es la diferencia entre cualquier t´ermino y el
anterior. En nuestro ejemplo, 7 − 5 = 2, 9 − 7 = 2, 11 − 9 = 2, etc. Siempre la misma
diferencia, 2 en este caso.
Ejercicio:
¿Cu´ales de las siguientes sucesionesson progresiones aritm´eticas? Para las que lo sean,
¿cu´al es la diferencia, d?
1. 320, 310, 300, 290, 280, ....... (Sol.: S´ı es una PA con d = −10).
2. 7, 7, 7, 7, 7, ....... (Sol.: S´ı es una PA con d = 0).
3. 1, 4, 9, 16, 25, ....... (Sol.: No es una PA).
4. 1, 2, 4, 8, 16, ....... (Sol.: No es una PA).
Ejercicio:
En la PA 15, 18, 21, 24, ......., calcula a10 y da una f´ormula para el...