temario calculo

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCION

FACULTAD POLITECNICA

CALCULO II
INGENIERIA INFORMÁTICA
Teoremario de Cátedra.
Observación: En el temario teórico de la cátedra además de teoremas se incluyen definiciones y ejercicios
tanto literales como teóricos.
1.

(Diferencial total). Demostrar que para una función z = f ( x, y ) continua en una región R con derivadas
parciales también continuasen esta región se verifica que el incremento ∆z , sea igual a:

∂f
∂f
∆x + ∆y + ε1∆x + ε 2 ∆y = dz + ε1∆x + ε 2 ∆y
∂y
∂x
∆z ≈ dz
∆z =

DEMOSTRACION. Por definición, el incremento es igual a:

∆ z = f ( x + ∆ x, y + ∆ y ) − f ( x, y ) … 1

Si sumamos y restamos a ∆z la expresión f ( x + ∆x, y ) , de tal forma que no varíe la expresión y además lo
agrupamos:
∆z = [ f ( x + ∆x, y +∆y ) − f ( x + ∆x, y )] + [ f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y )] … 2
Analizando el segundo término de la suma agrupada f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) , se puede distinguir que esta expresión
consiste en un incremento parcial de f ( x, y ) con respecto a la variable

f ( x + ∆ x, y ) − f ( x , y ) =

x ; Aplicando ahora el Teorema de Lagrange:

∂f ( x, y )
∆x ; para x < x < x + ∆x … 3
∂x

Se sabeademás que x → x cuando ∆x → 0 , con lo que podemos concluir:

∂f ( x, y) ∂f ( x, y )
…. 4
=
∆x → 0
∂x
∂x
Lim
∆y → 0

Con lo que podemos concluir que:

∆x → 0
∂f ( x, y) ∂f ( x, y )
+ ε 1 para
=
… 5; Siendo Lim ε 1 = 0 De acuerdo al Teorema del Límite que dice: Si
∆x →0
∆y → 0
∂x
∂x
∆y →0

Lim f ( x) = L y Lim ε 1 = 0 ; entonces para x → a , f ( x) = L + ε 1 .
x →a

x →aReemplazando la igualdad 5 en la 3, tenemos:

f ( x + ∆ x, y ) − f ( x , y ) =

∆x → 0
∂f ( x, y )
y Lim ε = 0
∆x + ε 1∆x … 6; para
∆y → 0 ∆x → 0 1
∂x
∆y → 0

Análogamente si se analiza el primer término de la Ecuación 1 de ∆z , consiste en un incremento parcial en y , con lo
que aplicando los mismos procedimientos se llegaría a la igualdad:

f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x + ∆x, y)=

∆x → 0
∂f ( x, y )
∆y + ε 2 ∆y … 7; para
Siendo Lim ε 2 = 0
∆x → 0
∆y → 0
∂y
∆y →0

Reemplazando 7 y 6 en 1, finalmente se llega a la igualdad:

∆z =

∆x → 0
∂f
∂f
∆x + ∆y + ε 1∆x + ε 2 ∆y = dz + ε 1∆x + ε 2 ∆y para
; Lim ε 1 = 0 y Lim ε 2 = 0
∆x → 0
∆y → 0 ∆ x → 0
∂x
∂y
∆y →0

∆y →0

∆x → 0
, ε ∆x y ε 2 ∆y son infinitesimales de orden superior con respecto a losdemás términos por lo que
∆y → 0 1
se puede afirmar la semejanza: ∆z ≈ dz .

Cuando

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CALCULO II

JOSE AGUSTIN RIVEROS INSFRAN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCION

2.

FACULTAD POLITECNICA

∂f
∂f
y
; a su vez u y v sean
∂u ∂v
funciones, también con derivadas parciales continuas, de variables independientes x e y :
u = g ( x, y ) ; v = h ( x , y )
Entonces lasderivadas parciales de w respecto a x e y serán:
(Regla de la Cadena). Si w = f (u , v) que tiene derivadas parciales continuas

∂w ∂f ∂u ∂f ∂v
∂w ∂f ∂u ∂f ∂v
=
+
;y
=
+
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
DEMOSTRACION. Démosle un incremento a la variable independiente x en un ∆x , esto provocará un incremento
parcial ∆u x y ∆v x en las variables dependientes u y v ; como estas dosvariables dependientes son incrementadas, esto
provocará un incremento total ∆w en w , con lo que según el teorema del incremento tendríamos:
∂w
∂w
∆w =
∆u x +
∆v x + ε∆u x + γ∆v x … 1; para Lim ε = 0 y Lim γ = 0
∆u x → 0
∆u x → 0
∂u
∂v
∆vx →o

∆vx →o

Dividiendo toda la expresión 1 por ∆x tendríamos:

∆u x
∆v x
∆w ∂w ∆u x ∂w ∆v x
+ε
+γ
+
=
…2; para Lim ε = 0 y Lim γ = 0
∆u x → 0∆u x →0
∆x
∆x
∆x ∂u ∆x ∂v ∆x
∆vx →o

Aplicando el Lim
∆x → 0

∆v x → o

∆w
a la expresión 2 y considerando que:
∆x
∆w ∂w
Lim
=
…3
∆x → 0 ∆x
∂x

∆u
∂w ∂u
∂w ∆u x ∂w
…4
Lim x =
=
∆x → 0 ∂u ∆x
∂u ∂x
∂u ∆x→0 ∆x

Lim
Análogamente;

Lim
∆x → 0

∆v
∂w ∂v
∂w ∆v x ∂w
…5
Lim x =
=
∆x → 0 ∆x
∂v ∂x
∂v
∂v ∆x

∆x → 0 , provoca un incremento parcial cero en...