Temas tercer parcial Geo Vectorial UDEA

GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA


VECTORES GEOMÉTRICOS


Definición:
Sean A y B dos puntos distintos en una recta . Llamaremos segmento orientado AB, denotado por , al segmento acompañado de la dirección de , y el sentido en el que A precede a B en la recta . .

Llamaremos segmento orientado nulo, denotado , al segmento nulo , con todas las direcciones y en cada una, con los dos sentidos.A es cualquier punto del espacio.



Notas:

Todo Segmento orientado posee un punto extremo inicial A y un punto extremo final B.

Los puntos comprendidos entre A y B se denominan puntos interiores.

La longitud del segmento , la denotamos por , además .

Todo segmento orientado no nulo, tiene una única dirección, la de todas las rectas paralelas a él.

Un conjunto de n vectores paralelos,tienen la misma dirección.


Cada recta en el espacio, posee dos sentidos, contrarios entre sí.

Los segmentos orientados y son distintos.


Poseen la misma dirección, pero sentidos contrarios.

y



Si A y B son dos puntos distintos en una recta y A’ y B’ son dos puntos distintos en la recta . Los segmentos orientados y son distintos, a pesar de que tengan la misma dirección,el mismo sentido y la misma longitud.








Definición:
Sea un segmento orientado. Se llama vector libre asociado al segmento orientado al conjunto formado por y todos los segmentos orientados que coinciden con él en dirección, sentido y longitud.

Lo notaremos por letra minúsculas con una flecha encima así: , , , etc.



Notas:

Si es un vector libre asociado a un segmento , se diceque es una aplicación del vector libre en el punto A, . Así un vector libre puede ser aplicado en cualquier punto particular.
Por comodidad diremos aunque la igualdad no sea estricta.

vector libre nulo.

Sea una aplicación de entonces,



Al conjunto de todos los vectores libres en el espacio se le denota



Ejemplo:

Sea ABCD un paralelogramo.




Entonces, óó


Además =

=





SUMA DE VECTORES LIBRES

Dos vectores libres y no nulos y con direcciones diferentes (no paralelos) determinan en un punto O cualquiera del espacio un paralelogramo, así:

1. Se aplica el vector en el punto O. Sea A el punto final de esta aplicación.


2. En A se aplica el vector . Sea B el punto final de esta aplicación.


3. Se aplica en O el vector, sea C el punto final de la aplicación.


4. El cuadrilátero resultante OABC, es un paralelogramo.





Paralelogramo asociado a y en el punto O.
se llama vector diagonal principal del paralelogramo OABC.




Definición:

Sea una función tal que:

1. Si y son vectores libres no nulos y no paralelos, entonces + es el vector diagonal principal del paralelogramoasociado a y en el punto O.

2. Si y son vectores no nulos, pero con igual dirección, entonces es el vector libre asociado a que se obtiene:








3. Si , entonces,
Si , entonces,






Propiedades de la suma de vectores libres:

1. La adición (+) es asociativa en .
2. La adición (+) es modulativa en (módulo ).
3. La adición (+) es invertiva en .
4. La adición (+) esconmutativa en .



Nota:

Sean y vectores libres. La operación . Se llama sustracción entre y . Al vector resultante se le llama diferencia entre y .


El orden en una sustracción si importa.
Por lo general



Propiedades de la sustracción de vectores libres:

Sean , y vectores libres.

1.

2.

3.

4.

5. La ecuación tiene solución única en .

6. La ecuacióntiene solución única en .


7.

8. es único.

9. es único.

10.


DESIGUALDAD TRIANGULAR

Con relación a la longitud (o magnitud) del vector suma de vectores libres, se tiene que:

1. Si , entonces




2. Si y son vectores libres no nulos con igual dirección y con el mismo sentido, entonces:




3. Si y son vectores libres no nulos con la misma dirección, pero...