Temas variados

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACION
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CARRERA: INGENIER´ MATEMATICA
IA

CALCULO I
Listado No.1
Axiomas de Cuerpo de los Reales
1.Demostrar las siguientes propiedades de los n´meros reales:
u
(a) −a = (−1) · a
(b) x − x = 0
(c) Si a = 0, entonces (a−1 )−1 = a
(d) Si a = 0, entonces a−1 = 0
(e) Si a, b = 0, entonces (a · b)−1= a−1 · b−1 = a−1 · b−1
(f) a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(g) a(b − c) = ab − ac
a c
ad + cb
+ =
b d
bd
(i) Si a, b, x ∈ R y si a = 0, entonces ax + b = 0 si y s´lo si x = −a−1 b.
o

(h) Si b,d = 0, entonces

2. Utilize las propiedades de los n´meros reales para resolver las siguientes ecuaciones:
u
(a) 4x − 11 = 0

(f) 5x2 + 4x − 1 = 0

(b) 4x − 21 = −x − 6.

(g) x3 − x = 0(c) x2 − 4x − 21 = 0

(h) (x + 1)2 = (x + 2)(x − 4).

(d) 3x2 − 6x + 3 = 0

(i) (x + a)(x − a) = x2 − ax (deje el resultado en t´rminos de a)
e

(e) x + 5x − 5 = 0
2

3. Usandoexclusivamente los axiomas de los reales y mencion´ndolos claramente cada vez
a
que los use, demuestre las siguientes propiedades. Si ocupa alguna otra propiedad entonces
deber´ demostrarla indicando losaxiomas que use.
a
(a) ∀x, y ∈ R, x, y = 0, (x + y)(x−1 y −1 ) = x−1 + y −1 .
(b) ∀x, y ∈ R, x, y = 0, (xy)−1 = y −1 x−1 .
(c) Usando (b), demostrar que ∀a, b, c, d ∈ R, b, d = 0, ab−1 + cd−1 = (ad +cb)(bd)−1 .
(d) ∀a ∈ R, a2 = 0 ⇒ a = 0.
(e) Para todo x, y ∈ R, (−x) + (−y) es inverso aditivo de x + y.

1

4. Usando s´lo los axiomas de cuerpo de los reales y los teoremas de unicidad deneutros e
o
inversos, demuestre que si a, b ∈ R\{0} son tales que a + b = 1 entonces se cumple que:
El inverso multiplicativo de (a · b) es (a−1 + b−1 ).
5. Usando las propiedades de orden de losreales, pruebe que si 0 < a < 1 y b > 1 entonces
ab + 1 < a + b.
6. Dados los n´meros reales a, b, c; demuestre que: ax2 + bx + c = 0, para todo x ∈ R si y
u
s´lo si a = b = c = 0.
o
7. Encuentre...