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Soluciones del modelo de Leontief dinámico con datos variables en el tiempo.

Soluciones del modelo de Leontief dinámico con datos
variables en el tiempo
Lucas Jódar y Paloma Merello
ljodar@imm.upv.es, pameregi@hotmail.com
Instituto de Matemática Multidisciplinar
Universidad Politécnica de Valencia

RESUMEN
En este trabajo abordamos la solución del modelo de Leontief dinámico suponiendoque
el vector de demandas finales Y(t) y la matriz de coeficientes técnicos A(t) o la matriz de
coeficientes de capital B(t) son variables con el tiempo. Particular atención se presta a la
construcción de soluciones para el caso en que la matriz de coeficientes de capital es singular, y
al caso donde A=A(t), Y=Y(t) y B=B(t) son funciones analíticas.

Palabras claves:
Leontief Dinámico;matriz capital variable.
Clasificación JEL (Journal Economic Literature):
C67; O41.

Área temática: Matemática Aplicada a los Métodos Cuantitativos.

XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:204

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Lucas Jódar y Paloma Merello

1. INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN
El modelo de Leontief estático, descrito por la ecuación
( I − A) X = Y ,

es uninstrumento útil para el análisis de la relación de equilibrio entre la
producción y la demanda de una economía multisectorial interdependiente
[W.W.Leontief]. Este modelo estático no considera algunos problemas de interés
real. Uno de ellos es el ajuste con el paso del tiempo de las producciones
sectoriales al variar la demanda con el tiempo. Otro problema interesante es que,
además del proceso deajuste, puede existir equilibrio inestable, diferente del
equilibrio estático. Estos hechos motivan la consideración del modelo de
Leontief dinámico,
BX ′(t ) + AX (t ) + Y (t ) = X (t ) .

(1)

Donde X(t) representa el vector de producciones en Rn, A es la matriz de
producción en Rnxm, se considera la formación de capital incluyendo la
acumulación de inventario, [Chang, p.621], representadapor la matriz B en
Rnxm.

Sin embargo, el tratamiento del modelo dinámico, para nuestro
conocimiento considera dos situaciones interesantes, como el caso en que la
matriz de coeficientes de capital B es singular, así como que sea variable con el
tiempo B=B(t), junto con la matriz de coeficientes de producción A=A(t) son
variables con el tiempo, así como el vector de demandas finales Y(t).El modelo dinámico de Leontief tiene un renovado interés por sus
relaciones con la teoría del crecimiento, [Kurz&Salvadori, 2000].

XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:204

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Soluciones del modelo de Leontief dinámico con datos variables en el tiempo.

En este trabajo abordamos la construcción de la solución del modelo
dinámico de Leontief,en los dos casos anteriormente citados, y constituyen el
punto de partida de situaciones más generales en la que la variación con el
tiempo de las matrices de producción A(t), de capital B(t), así como el vector de
demandas, sean variables con el tiempo, pero no necesariamente analíticas.

Este artículo está organizado como sigue. En la sección 2 incluimos un
resumen de definiciones yresultados con objeto de hacer más clara la
comprensión del resto del artículo. En la sección 3 incluimos la construcción de
la solución del problema de Leontief dinámico (1) donde A=A(t) es variable con
el tiempo y B es una matriz singular, no considerando en [Blanc]. El enfoque
utilizado en esta sección utiliza la teoría de sistemas singulares de ecuaciones
diferenciales [Campbell] y el método dedesarrollos en series de potencias
[Dieudonné], [Birkhoff-Rotta]. La sección 4 construye la solución del problema
(1) para el caso donde A=A(t), B=B(t) e Y=Y(t) son funciones analíticas, es
decir,
A(t ) = ∑ Am t m ; B (t ) = ∑ Bm t m ; Y (t ) = ∑ Ym t m ; t < r , r > 0 ,
m≥ 0

m≥ 0

(2)

m ≥0

donde Am, Bm son matrices en Rnxn e Ym es un vector en Rn, para cada m ≥ 0 ,
mediante el...