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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 

 

IBI‐101 

SISTEMAS COORDENADOS DE DOS DIMENSIONES 
 
Plano cartesiano. 

 

 
 

Ejes coordenados X y Y. 
Origen (O) 
Recta horizontal   eje X o eje de abscisas. 
Recta vertical   eje Y o eje de ordenadas. 
P1 y P2 son coordenadas cartesianas donde (a,b) se conoce como par ordenado. 
 
 
Ejemplo:  Considérese  la  ecuación  y  =  x2  – 2,  donde  (x,y)  es  un  punto  en  R2.    Se  denomina  a  esto  una 
ecuación en R2. 
 
 
TABLA DE VALORES 
x 
y 
‐3 
7 
‐2 
2 
‐1 
‐1  
0 
‐2  
1 
‐1  
2 
2 
3 
7 
 
 
 
 
 
 

Prof. ISMAEL SÁNCHEZ O. 

 

 

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 

 

IBI‐101 

Ejemplo: dibuje la gráfica de y = |x + 3| 
 
TABLA DE VALORES 
x 
y 
‐6 
3 
‐5 
2 
‐4 
1 ‐3 
0 
‐2 
1 
‐1 
2 
0 
3 
1 
4 
 

 
 
 
LA RECTA 
 
La línea recta o recta es un lugar geométrico.  Cuando se coloca en un plano cartesiano, debería tener una 
ecuación.  Sólo es necesario conocer dos puntos de la recta para trazar su gráfica. 
Considérese la siguiente recta: 

 
 
Del  punto  A  al  punto  B,  existe  una  elevación  (cambio  vertical)  de  2  unidades,  y un  avance  (cambio 
horizontal) de 5 unidades.  Decimos que la recta tiene una pendiente de ⅖.  En general para una recta que 
pasa por A(x1, y1) y B(x2, y2), en donde x1 ≠ x2, definimos la pendiente m de una recta como: 
ó
 
 
La  pendiente  m  es  una  medida  de  la  inclinación  de  una  recta.   Una  recta  horizontal  tiene  pendiente  cero 
(m  =  0),  una  recta  que  se  eleva hacia  la  derecha  tiene  pendiente  positiva,  y  una  recta  que  desciende  a  la 
derecha  tiene  pendiente  negativa.   Entre  mayor  sea  el  valor  absoluto  de  la  pendiente  de  una  recta,  más 
inclinada es la recta. 
Si la recta es paralela al eje Y, x1 ≠ x2, la ecuación que define m no tendría sentido, debido a que no puede efectuarse la división por cero.  Así pues, una recta vertical no tiene pendiente. 

Prof. ISMAEL SÁNCHEZ O. 

 

 

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 

 

IBI‐101 

Ejemplo: hallar la pendiente de las siguientes rectas que pasan por los siguientes puntos: 
a) A(1, 3) y B(3, 11) 
 
b)   R(‐2, 4) y S(6,0) 
 
c)   D(3, ‐4) y E(5, ‐4) 
 
11‐3
04
1
4
4
a mAB
4
b
3‐1
6— 2
2
53
 
 
 

0 

 
 
 Rectas paralelas: dos rectas distintas son paralelas si y sólo si tienen las mismas pendientes. 
 
Ejemplo:  L1  pasa  por  A(1,  ‐2)  y  B(‐3,  6);  y  L2  pasa  por  C(‐3,  4)  y  D(5,‐12).    Demostrar  que  L1  y  L2  son 
paralelas. 
6
2
12 4
2
2
 
31
5
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rectas  perpendiculares:  dos  rectas  no  verticales  son  perpendiculares  si  y  solo  si  sus  pendientes  son recíprocos negativos una de la otra.  Es decir, si el producto de sus pendientes es ‐1. (m1m2=‐1) 
 
Ejemplo:  L1  pasa  por  A(‐1,  5)  y  B(4,  ‐1);  y  L2  pasa  por  C(1,  ‐4)  y  D(7,  1).    Demostrar  que  L1  y  L2  son 
perpendiculares. 

Prof. ISMAEL SÁNCHEZ O. 

 

 

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 

1
4

5
1

6
5

 

1
7

4
1

IBI‐101 

5
6

1

  

 
 
 
Forma punto‐pendiente: si multiplicamos (x2 – x1) en ambos lados de la ecuación de la pendiente tenemos 
que: 
 
 
 
 
que nos lleva a tener la forma o ecuación punto‐pendiente: 
 
 
 
 
Esta  ecuación  da  la  ecuación  de  la  recta  si  se  conocen  un  punto  P1(x1,  y1)  contenido  en  la  recta  y  la pendiente m de la misma.  Se recomienda utilizar la forma punto‐pendiente aunque se den dos puntos. 
 
 
Ejemplo: hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos Q(2, 1) y R(4, 7). 
71
 
3
 
42
 
13
2 
 
13
6 
 
3
160
 
3
50
 
 
Ejemplo: hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (‐4, 3) y tiene una pendiente de ‐2/5. 

Prof. ISMAEL SÁNCHEZ O. 

 

 

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