Tensores

Comportamiento mec´anico de los Materiales

Tema II: Tensores

Formulario 1: Tensores

´ n, orden y componentes
1. Dimensio
Dimension Orden
d
m
0
2
1
2
3
4
...
0
3
1
2
3
4
...
0
4
1
2
3
4
...Componentes
N = dm
1
2
4
8
16
...
1
3
9
27
81
...
1
4
16
64
256
...

Nombre
Escalar
Vector 2D
Tensor 2D de segundo orden
Tensor 2D de tercer orden
Tensor 2D de cuarto orden
...
Escalar
Vector
Tensor desegundo orden
Tensor de tercer orden
Tensor de cuarto orden
...
Escalar
Cuatrivector
Cuadritensor de segundo orden
Cuadritensor de tercer orden
Cuadritensor de cuarto orden
...

2. Leyes de cambio decoordenadas

Figure 1: Cambio de coordenadas

1

Comportamiento mec´anico de los Materiales

Tema II: Tensores

Matriz de cambio de base:




a11 a12 a13

A =  a21 a22 a23 

a31 a32 a33

donde

aij= eˆi · eˆj = cos(ˆ
ei eˆj )

Para un tensor,
Tijk... = air ajs akt ...Trst...
Leyes de Transformaci´on:
Orden
m
0
1

Componentes

33 = 27

Transformaci´on
directa
a =a
vi = aij vj
v = Av
Tij = airais Trs
T = AT At
Tijk = air ais akt Trst

Transformaci´on
inversa
a=a
vi = aji vj
v = At v
Tij = ari asj Trs
T = At T A
Tijk = ari asj atk Trst

2

32 = 9

3
..

..

..

..

30 = 1
31 = 3

´s
3.Tensores de intere
1. Tensor ”Delta de Kr¨
onecker”:


δij =

1 si i = j
0 si i = j



1 0 0

δ =  0 1 0 

0 0 1

Propiedades:
- aik ajk = δij
- aki akj = δij
2. Tensor ”m´
etrica”:
gij = eˆi · eˆjgij = δij en una base ortonormal

El elemento diferencial de distancia es: ds2 = gij dxi dxj .

Nombre
Escalar
Vector
Tensor de
segundo orden
Tensor de
tercer orden
..

2

Comportamiento mec´anico delos Materiales

Tema II: Tensores

3. Tensor de Ricci:
sij = |ˆ
ei × eˆj |
En una base ortonormal:

sij









0
si i = j
1
si i = j, permutaci´on par
=


−1 si i = j, permutaci´on imparsij

0
1 −1

1 
=  −1 0

1 −1 0

4. Tensor de Ricci-Curbastro:
ijk

= eˆi (ˆ
ej × eˆk )

En una base ortonormal:

ijk

=





0
si i = j o´ i = k ´o j = k
1
si i = j = k, permutaci´on par

...